Дії з цілими числами та дробами

На НМТ немає калькулятора, а майже кожне завдання закінчується обчисленням: знайшли корінь рівняння — треба порахувати значення виразу, склали формулу площі — треба перемножити дроби. Є й окремі завдання саме на обчислення: наприклад, встановити відповідність між виразами з дробами та їхніми значеннями. А відповідь до завдань з короткою відповіддю вписують у бланк десятковим дробом, тож уміти переходити від звичайного дробу до десяткового доводиться в кожному варіанті.

Помилка в знаку чи загублена кома коштує цілого завдання, навіть якщо хід розв'язання правильний. Тому ця тема — не повторення молодшої школи, а фундамент, на якому стоїть решта курсу. Нижче — правила з поясненням, чому вони саме такі, розібрані приклади і тренажер, на якому обчислення доводять до автоматизму.

Цілі числа: правила знаків

Цілі числа зручно уявляти на числовій прямій. Додати додатне число — зсунутися праворуч, додати від'ємне — ліворуч. Звідси правила додавання:

• знаки однакові — модулі додаємо, знак лишаємо: $-7 + (-5) = -12$;
• знаки різні — від більшого модуля віднімаємо менший, знак беремо в числа з більшим модулем: $-13 + 8 = -5$, бо $13 > 8$, і переважає мінус.

Віднімання — це додавання протилежного числа: $a - b = a + (-b)$. Саме тому $a - (-b) = a + b$: відняти борг — те саме, що отримати гроші. Будь-який вираз з мінусами можна переписати як суму й застосувати правила додавання.

Для множення й ділення правило ще простіше: однакові знаки дають плюс, різні — мінус. Якщо множників кілька, рахують кількість від'ємних: парна — результат додатний, непарна — від'ємний. Наприклад, $(-2) \cdot (-3) \cdot (-5) = -30$ — три мінуси.

Порядок дій

Домовленість про порядок дій однакова в усьому світі:

1. дії в дужках;
2. степені (і корені);
3. множення й ділення — зліва направо, як вони йдуть;
4. додавання й віднімання — теж зліва направо.

Пункт «зліва направо» важливий. Множення й ділення мають однаковий пріоритет, тому $24 : 4 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$, а не $24 : 8 = 3$. Так само $20 - 8 + 2 = 14$, а не $10$.

Звичайні дроби

Основна властивість дробу: чисельник і знаменник можна помножити або поділити на одне й те саме ненульове число — значення не зміниться:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot k}{b \cdot k}.$

Ділення на спільний дільник називають скороченням. Скорочувати найзручніше одразу на НСД чисельника й знаменника: $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ (НСД дорівнює $6$). Відповідь записують нескоротним дробом — так її легше порівняти з варіантами.

Додавання й віднімання

Додавати можна лише однакові частини: третину й половину не складеш, доки обидві не виражено, скажімо, шостими. Тому дроби спершу зводять до спільного знаменника — найзручніше до найменшого спільного кратного знаменників. Потягни повзунки й простеж, як різні частини стають однаковими.

Загальна схема: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot k_1 + c \cdot k_2}{\text{НСК}(b,\ d)}$, де $k_1$ і $k_2$ — додаткові множники. Додавати чисельники й знаменники «навхрест» не можна: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}$ — сума двох додатних дробів не може бути меншою за кожен із них, а $\dfrac{2}{5} < \dfrac{1}{2}$.

Мішане число — це сума цілої частини й правильного дробу: $2\dfrac{3}{5} = 2 + \dfrac{3}{5}$. Перед множенням і діленням його обов'язково переводять у неправильний дріб: $2\dfrac{3}{5} = \dfrac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \dfrac{13}{5}$. Назад — діленням з остачею: $\dfrac{17}{5} = 3\dfrac{2}{5}$, бо $17 = 5 \cdot 3 + 2$.

Множення й ділення

Множать дроби напряму: чисельник на чисельник, знаменник на знаменник. Спільний знаменник тут не потрібен. Зате корисно скорочувати до множення — тоді числа лишаються малими: $\dfrac{9}{14} \cdot \dfrac{7}{12} = \dfrac{3 \cdot 1}{2 \cdot 4} = \dfrac{3}{8}$ (скоротили $9$ і $12$ на $3$, а $7$ і $14$ на $7$).

Ділення — це множення на обернений дріб: $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$. Чому так? Поділити на $\dfrac{1}{4}$ — означає з'ясувати, скільки четвертинок уміщується в числі, а в кожній одиниці їх рівно чотири. Ціле число записують дробом зі знаменником $1$: $\dfrac{3}{5} : 6 = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{10}$.

Десяткові дроби

Десятковий дріб — це звичайний дріб зі знаменником $10$, $100$, $1000$ тощо, записаний без знаменника: $2{,}35 = \dfrac{235}{100}$. Звідси всі правила дій.

• Додавання й віднімання — «кома під комою». Розряди мусять стояти один під одним, бракуючі цифри доповнюють нулями: $7{,}3 - 2{,}45 = 7{,}30 - 2{,}45 = 4{,}85$.
• Множення — множать як цілі числа, не зважаючи на коми, а в добутку відокремлюють стільки знаків після коми, скільки їх в обох множниках разом: $0{,}4 \cdot 0{,}25$: $4 \cdot 25 = 100$, знаків $1 + 2 = 3$, тож $0{,}100 = 0{,}1$.
• Ділення — кому в діленому й дільнику переносять праворуч на однакову кількість знаків, доки дільник не стане цілим: $1{,}2 : 0{,}04 = 120 : 4 = 30$. Частка від цього не змінюється — це та сама основна властивість дробу.
• Множення й ділення на $10$, $100$, $1000$ — зсув коми праворуч чи ліворуч на стільки знаків, скільки нулів.

Звичайний дріб чи десятковий?

Нескоротний дріб має скінченний десятковий запис лише тоді, коли в розкладі його знаменника немає інших простих множників, крім $2$ і $5$. Варто пам'ятати найуживаніші відповідності:

А от $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ — нескінченний періодичний дріб. Якщо у виразі є третини, сьомі чи дев'яті, рахуйте звичайними дробами: округлення посеред обчислень дасть неточну відповідь. Якщо ж усі дроби «зручні», часто простіше перейти до десяткових — особливо коли відповідь треба вписати в бланк.

Округлення, частка й остача

Щоб округлити число до певного розряду, дивляться на першу відкинуту цифру: якщо вона $5$ або більша — останню залишену цифру збільшують на $1$, інакше — лишають. Наприклад, $12{,}347 \approx 12{,}35$ (до сотих) і $12{,}347 \approx 12{,}3$ (до десятих). Збільшення може «перенестися» в старший розряд: $3{,}97 \approx 4{,}0$ до десятих. Округлюйте лише остаточну відповідь і лише тоді, коли цього вимагає умова.

Ділити натуральні числа можна з остачею: $a = b \cdot q + r$, де $0 \le r < b$. Число $q$ називають неповною часткою, $r$ — остачею. Наприклад, $247 = 9 \cdot 27 + 4$: неповна частка $27$, остача $4$. Остача завжди менша за дільник — інакше в діленому вмістилося б ще одне ціле число дільників.

Перевірка прикидкою

Найпростіший спосіб упіймати помилку — оцінити відповідь до точного обчислення. Сума $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}$ — це трохи менше, ніж $1 + 1$, і помітно більше за $1$: десь $1{,}6$. Точна відповідь $\dfrac{19}{12} \approx 1{,}58$ з оцінкою узгоджується, а «відповідь» $\dfrac{8}{10}$, отримана додаванням чисельників і знаменників, — ні. Те саме з десятковими: $0{,}4 \cdot 0{,}25$ — це менше за кожен із множників, тож $1$ чи $10$ бути не може. На іспиті прикидка займає кілька секунд і рятує від найприкріших помилок.

Тренажер обчислень

Правила легко зрозуміти, але на іспиті потрібна швидкість без помилок, а її дає лише практика. Тренажер пропонує серію з десяти прикладів поспіль: на цілі числа, звичайні дроби, десяткові дроби, порядок дій або все разом. Відповідь — одне число (ціле, десятковий дріб через кому чи звичайний дріб на кшталт 7/12, мішане число — 1 1/2). Після кожного прикладу одразу видно, чи правильно, а для помилки — покрокове розв'язання; наприкінці — рахунок, час і розбір помилок. Проходьте серії, доки не вийде $10$ з $10$ у кожному режимі.

Типові помилки

• Рахують строго зліва направо. У виразі $2 + 3 \cdot 4$ спершу множать: відповідь $14$, а не $20$.
• Мінус перед степенем. $-2^2 = -4$, а $(-2)^2 = 4$. Дужки змінюють усе.
• Додають чисельники й знаменники. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$, а не $\dfrac{2}{5}$ — спершу спільний знаменник.
• Ділять дроби «напряму». Ділення — це множення на обернений дріб; забути перевернути другий дріб — найчастіша помилка в діях з дробами.
• Губиться ціла частина мішаного числа. $2\dfrac{1}{3} \cdot 3 = \dfrac{7}{3} \cdot 3 = 7$, а не $2 \cdot 1 = 2$ чи $6\dfrac{1}{3}$ — мішане число спершу переводять у неправильний дріб.
• Кома не на своєму місці. У добутку $0{,}3 \cdot 0{,}2$ два знаки після коми: $0{,}06$, а не $0{,}6$. Прикидка ($0{,}3 \cdot 0{,}2$ менше за $0{,}2$) ловить таку помилку одразу.

Перевір себе