Тригонометричні функції. Градусна і радіанна міри

Тригонометрія починається зі зміни точки зору. У прямокутному трикутнику синус і косинус означені лише для гострих кутів — а хочеться говорити про кути $120°$, $300°$ чи навіть від'ємні. Одиничне коло знімає це обмеження: воно означує синус і косинус як координати точки, і це працює для будь-якого кута. Опанувавши коло, ти перестанеш зубрити таблиці знаків — усе читатиметься з малюнка.

Радіанна міра кута

Крім градусів, кути вимірюють у радіанах. Один радіан — центральний кут, що спирається на дугу завдовжки в радіус. Оскільки повне коло — це $360^\circ = 2\pi$ радіан, маємо ключове співвідношення:

$180^\circ = \pi \ \text{рад}, \qquad 1^\circ = \dfrac{\pi}{180}, \qquad 1\ \text{рад} = \dfrac{180^\circ}{\pi}.$

Наприклад, $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$, $60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$, $270^\circ = \dfrac{3\pi}{2}$.

Практично переведення зводиться до однієї пропорції: $\pi$ радіан «коштує» $180°$. Щоб перейти від градусів до радіанів, множимо на $\dfrac{\pi}{180}$; у зворотний бік — на $\dfrac{180}{\pi}$. Зручний орієнтир: якщо у відповіді є $\pi$, це радіани.

Тригонометричні функції на одиничному колі

Розгляньмо одиничне коло (радіус $1$) із центром у початку координат. Якщо радіус повернути на кут $\alpha$, то координати кінця радіуса — це $(\cos\alpha;\ \sin\alpha)$:

$\cos\alpha = x, \qquad \sin\alpha = y, \qquad \tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\ (\cos\alpha \ne 0).$

З цього означення одразу випливають дві важливі властивості. По-перше, координати точки на одиничному колі не можуть виходити за межі від $-1$ до $1$, тому $|\sin\alpha| \le 1$ і $|\cos\alpha| \le 1$ завжди. По-друге, повний оберт повертає точку на місце, тому синус і косинус періодичні з періодом $2\pi$: додавання $360°$ до кута нічого не змінює. У тангенса період удвічі менший — $\pi$.

Знаки за чвертями

Знак функції залежить від чверті, у якій лежить кут:

Як це запам'ятати (і не зубрити таблицю)

Знаки не треба вчити напам'ять — вони читаються прямо з кола. Згадай, що $\cos\alpha$ — це координата $x$ точки, а $\sin\alpha$ — координата $y$:

• $\sin$ — це «вгору/вниз». Угорі (I і II чверті) точка має $y > 0$ → $\sin > 0$. Унизу (III і IV) $y < 0$ → $\sin < 0$.
• $\cos$ — це «праворуч/ліворуч». Праворуч (I і IV чверті) точка має $x > 0$ → $\cos > 0$. Ліворуч (II і III) $x < 0$ → $\cos < 0$.
• $\tan = \dfrac{\sin}{\cos}$ — знак «за правилом ділення»: якщо $\sin$ і $\cos$ однакового знаку (I і III чверті), то $\tan > 0$; якщо різного (II і IV) — $\tan < 0$.

Значення опорних кутів

$\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \tfrac{\sqrt2}{2}, \quad \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}, \quad \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}, \quad \tan 45^\circ = 1, \quad \tan 60^\circ = \sqrt3.$

Таблицю опорних кутів варто знати напам'ять — вона трапляється в кожному варіанті НМТ. Запам'ятати легше за закономірністю: синуси кутів $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ — це $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$, тобто корені з $0, 1, 2, 3, 4$, поділені на два. Косинуси — та сама послідовність у зворотному порядку.

Типові помилки

• Плутають, що є синусом, а що косинусом на колі. Синус — це $y$ (вертикаль), косинус — $x$ (горизонталь).
• Множать на $\dfrac{180}{\pi}$ замість $\dfrac{\pi}{180}$ (і навпаки) при переведенні мір.
• Дають синус чи косинус, більший за одиницю. Це неможливо за означенням.
• Забувають знак для кутів поза першою чвертю. Опорний кут дає лише модуль значення.
• Вважають період тангенса рівним $2\pi$. У тангенса період $\pi$.

Перевір себе