Тіла і поверхні обертання. Циліндр

Тіла обертання — це місток між планіметрією та стереометрією. Кожне з них утворене простою плоскою фігурою, яку «покрутили» навколо осі, тому всі їхні розміри зрештою зводяться до відрізків на цій вихідній фігурі. Практичний висновок для НМТ: майже будь-яка задача про циліндр, конус чи кулю розв'язується, щойно ти намалюєш осьовий переріз — плоску фігуру, у якій уже працює звична планіметрія.

Тіла обертання

Тіло обертання утворюється при обертанні плоскої фігури навколо прямої (осі). Так, обертання прямокутника навколо його сторони дає циліндр, прямокутного трикутника — конус, півкруга — кулю.

Зверни увагу: результат залежить від того, навколо якої сторони обертати. Прямокутник $3 \times 5$ навколо сторони $3$ дає циліндр з радіусом $5$ і висотою $3$ , а навколо сторони $5$ — з радіусом $3$ і висотою $5$ . Об'єми в цих двох циліндрів різні, тому в умові завжди уважно читай, яка сторона є віссю.

Циліндр

Циліндр має дві рівні круглі основи (радіус $R$ ) у паралельних площинах і бічну поверхню. Відстань між основами — висота $h$ . Осьовий переріз (площиною через вісь) — прямокутник зі сторонами $2R$ і $h$ .

Об'єм і поверхня

$V = \pi R^2 h, \qquad S_{\text{бік}} = 2\pi R h, \qquad S_{\text{повна}} = 2\pi R(R + h).$

Повна поверхня — це бічна поверхня плюс дві основи: $S = 2\pi R h + 2\cdot\pi R^2 = 2\pi R(R+h)$ .

Формулу об'єму теж не треба вчити окремо: об'єм будь-якого «прямого» тіла — це площа основи, помножена на висоту. Основа циліндра — круг площею $\pi R^2$ , звідси й $V = \pi R^2 h$ . Так само влаштований об'єм призми.

Бічна поверхня — розгортка

Якщо розрізати бічну поверхню циліндра вздовж твірної й розгорнути, дістанемо прямокутник зі сторонами $2\pi R$ (довжина кола основи) і $h$ . Тому $S_{\text{бік}} = 2\pi R\cdot h$ .

Приклад 1 — об'єм і повна поверхня

Радіус основи циліндра дорівнює $3$ , висота — $10$ . Знайдемо об'єм і повну поверхню.

Об'єм: $V = \pi R^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi$ ;
бічна поверхня: $S_{\text{бік}} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi$ ;
дві основи: $2 \cdot \pi R^2 = 2 \cdot 9\pi = 18\pi$ ;
повна поверхня: $60\pi + 18\pi = 78\pi$ .

Перевірка за короткою формулою: $2\pi R(R + h) = 2\pi \cdot 3 \cdot 13 = 78\pi$ . ✅

Радіус у квадраті — лише в об'ємі

Порівняй показники: в об'ємі радіус стоїть у квадраті ( $\pi R^2 h$ ), а в бічній поверхні — у першому степені ( $2\pi R h$ ). Плутанина цих двох формул — найчастіша помилка теми.

Осьовий переріз

Осьовий переріз циліндра — прямокутник $2R \times h$ , його площа $S = 2R\cdot h$ (без $\pi$ , бо це плоский прямокутник, а не поверхня).

Осьовий переріз — головний робочий інструмент теми. Він перетворює просторову задачу на плоску: у прямокутнику $2R \times h$ видно і діаметр основи, і висоту, тому через нього зручно шукати діагональ, кут нахилу чи невідомий розмір за теоремою Піфагора.

Приклад 2 — розміри з осьового перерізу

Осьовий переріз циліндра — квадрат площею $36$ . Знайдемо об'єм циліндра.

Переріз — квадрат, отже його сторона $\sqrt{36} = 6$ ;
сторони перерізу — це $2R$ і $h$ , тож $2R = 6$ і $h = 6$ ;
звідси $R = 3$ , $h = 6$ ;
об'єм: $V = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi$ .

Відповідь: $54\pi$ . Ключовий крок — усвідомити, що «квадрат у перерізі» означає $h = 2R$ , тобто висота дорівнює діаметру, а не радіусу.

Типові помилки

Підставляють діаметр замість радіуса. Якщо в умові дано діаметр, його треба поділити навпіл ще до підстановки у формулу.
Забувають дві основи в повній поверхні. Повна поверхня — це бічна плюс дві основи, тому $2\pi R^2$ , а не $\pi R^2$ .
Додають $\pi$ до площі осьового перерізу. Переріз — звичайний прямокутник, у його площі $\pi$ немає.
Плутають висоту з твірною. У циліндра вони збігаються, а от у конуса — ні; це джерело помилок, коли задачі на обидва тіла йдуть поруч.
Не зважають, навколо якої сторони обертали прямокутник. Ця сторона стає висотою, а сусідня — радіусом.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Відповіді з $\pi$ вводь як 45*pi або символом 45π. Площу осьового перерізу — звичайним числом. Перевірка порівнює чисельно.

Завдання формату НМТ

Завдання в тому вигляді, як їх дають на національному мультипредметному тесті: вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), установлення відповідності та коротка відповідь десятковим дробом. Там, де є позначка «Прототип», задачу побудовано за типом реального завдання НМТ минулих років; числа в умові щоразу нові.

Висота циліндра за об’ємом

Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2022 · №10

Тіло обертання

Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2023 · зошит 1 · №8

Твірна циліндра в осьовому перерізі

Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2024 · зошит 1 · №4

Циліндр з квадратним осьовим перерізом

Коротка відповідь · Прототип: НМТ 2023 · зошит 2 · №21

Приклади розв’язання завдань НМТ

Так розв’язують завдання формату НМТ із цієї теми — по одному прикладу на кожен формат: вибір відповіді, відповідність, коротка відповідь. У розділі «Завдання формату НМТ» числа щоразу нові, а тут кожен крок розписано.

1Висота циліндра за об’ємом

Вибір А–Д

Прототип: НМТ 2022 · №10

144\pi.

А24
Б8
В144
Г12
Д4

V = \pi r^2 h.

Показати розв’язання

1 $h = \dfrac{144\pi}{\pi\cdot6^2} = 4$

4

2Тіло обертання

Вибір А–Д

Прототип: НМТ 2023 · зошит 1 · №8

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворено обертанням...»

Апівкруга навколо його діаметра
Бпрямокутного трикутника навколо катета
Впрямокутника навколо його сторони
Гпрямокутного трикутника навколо гіпотенузи
Дпрямокутної трапеції навколо меншої бічної сторони

Уявіть, яку поверхню описує кожна сторона фігури під час обертання навколо осі.

Показати розв’язання

1 $Циліндр утворено обертанням прямокутника навколо його сторони.$

Відповідь: В) прямокутника навколо його сторони

3Циліндр з квадратним осьовим перерізом

Коротка відповідь

Прототип: НМТ 2023 · зошит 2 · №21

4

r = \dfrac{a}{2},\ h = a,\ V = \pi r^2 h.

Показати розв’язання

1 $V = \pi\cdot2^2\cdot4 = 16\pi$

16