Тіла і поверхні обертання. Циліндр

Тіла обертання — це місток між планіметрією та стереометрією. Кожне з них утворене простою плоскою фігурою, яку «покрутили» навколо осі, тому всі їхні розміри зрештою зводяться до відрізків на цій вихідній фігурі. Практичний висновок для НМТ: майже будь-яка задача про циліндр, конус чи кулю розв'язується, щойно ти намалюєш осьовий переріз — плоску фігуру, у якій уже працює звична планіметрія.

Тіла обертання

Тіло обертання утворюється при обертанні плоскої фігури навколо прямої (осі). Так, обертання прямокутника навколо його сторони дає циліндр, прямокутного трикутника — конус, півкруга — кулю.

Зверни увагу: результат залежить від того, навколо якої сторони обертати. Прямокутник $3 \times 5$ навколо сторони $3$ дає циліндр з радіусом $5$ і висотою $3$ , а навколо сторони $5$ — з радіусом $3$ і висотою $5$ . Об'єми в цих двох циліндрів різні, тому в умові завжди уважно читай, яка сторона є віссю.

Циліндр

Циліндр має дві рівні круглі основи (радіус $R$ ) у паралельних площинах і бічну поверхню. Відстань між основами — висота $h$ . Осьовий переріз (площиною через вісь) — прямокутник зі сторонами $2R$ і $h$ .

Об'єм і поверхня

$V = \pi R^2 h, \qquad S_{\text{бік}} = 2\pi R h, \qquad S_{\text{повна}} = 2\pi R(R + h).$

Повна поверхня — це бічна поверхня плюс дві основи: $S = 2\pi R h + 2\cdot\pi R^2 = 2\pi R(R+h)$ .

Формулу об'єму теж не треба вчити окремо: об'єм будь-якого «прямого» тіла — це площа основи, помножена на висоту. Основа циліндра — круг площею $\pi R^2$ , звідси й $V = \pi R^2 h$ . Так само влаштований об'єм призми.

Бічна поверхня — розгортка

Якщо розрізати бічну поверхню циліндра вздовж твірної й розгорнути, дістанемо прямокутник зі сторонами $2\pi R$ (довжина кола основи) і $h$ . Тому $S_{\text{бік}} = 2\pi R\cdot h$ .

Приклад 1 — об'єм і повна поверхня

Радіус основи циліндра дорівнює $3$ , висота — $10$ . Знайдемо об'єм і повну поверхню.

Об'єм: $V = \pi R^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi$ ;
бічна поверхня: $S_{\text{бік}} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi$ ;
дві основи: $2 \cdot \pi R^2 = 2 \cdot 9\pi = 18\pi$ ;
повна поверхня: $60\pi + 18\pi = 78\pi$ .

Перевірка за короткою формулою: $2\pi R(R + h) = 2\pi \cdot 3 \cdot 13 = 78\pi$ . ✅

Радіус у квадраті — лише в об'ємі

Порівняй показники: в об'ємі радіус стоїть у квадраті ( $\pi R^2 h$ ), а в бічній поверхні — у першому степені ( $2\pi R h$ ). Плутанина цих двох формул — найчастіша помилка теми.

Осьовий переріз

Осьовий переріз циліндра — прямокутник $2R \times h$ , його площа $S = 2R\cdot h$ (без $\pi$ , бо це плоский прямокутник, а не поверхня).

Осьовий переріз — головний робочий інструмент теми. Він перетворює просторову задачу на плоску: у прямокутнику $2R \times h$ видно і діаметр основи, і висоту, тому через нього зручно шукати діагональ, кут нахилу чи невідомий розмір за теоремою Піфагора.

Приклад 2 — розміри з осьового перерізу

Осьовий переріз циліндра — квадрат площею $36$ . Знайдемо об'єм циліндра.

Переріз — квадрат, отже його сторона $\sqrt{36} = 6$ ;
сторони перерізу — це $2R$ і $h$ , тож $2R = 6$ і $h = 6$ ;
звідси $R = 3$ , $h = 6$ ;
об'єм: $V = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi$ .

Відповідь: $54\pi$ . Ключовий крок — усвідомити, що «квадрат у перерізі» означає $h = 2R$ , тобто висота дорівнює діаметру, а не радіусу.

Типові помилки

Підставляють діаметр замість радіуса. Якщо в умові дано діаметр, його треба поділити навпіл ще до підстановки у формулу.
Забувають дві основи в повній поверхні. Повна поверхня — це бічна плюс дві основи, тому $2\pi R^2$ , а не $\pi R^2$ .
Додають $\pi$ до площі осьового перерізу. Переріз — звичайний прямокутник, у його площі $\pi$ немає.
Плутають висоту з твірною. У циліндра вони збігаються, а от у конуса — ні; це джерело помилок, коли задачі на обидва тіла йдуть поруч.
Не зважають, навколо якої сторони обертали прямокутник. Ця сторона стає висотою, а сусідня — радіусом.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Відповіді з $\pi$ вводь як 45*pi або символом 45π. Площу осьового перерізу — звичайним числом. Перевірка порівнює чисельно.