Ірраціональні рівняння

Ця тема — найкращий приклад того, як важливо розрізняти «перетворення» і «рівносильне перетворення». Піднесення до квадрата виглядає безневинно, але воно змінює саме рівняння: у розв'язок потрапляють числа, які початковому рівнянню не задовольняють. Тому тут перевірка коренів — не забаганка вчителя, а обов'язкова частина розв'язання, без якої відповідь буде просто неправильною.

Що це таке

Ірраціональним називають рівняння, у якому змінна стоїть під знаком кореня, наприклад $\sqrt{x+3} = 4$ . Основний прийом розв'язання — піднесення обох частин до квадрата, щоб позбутися кореня.

Найпростіший випадок

$\sqrt{x} = a \iff x = a^2 \quad (a \ge 0).$

Якщо $a < 0$ , розв'язків немає: арифметичний корінь невід'ємний. Так само $\sqrt{x+b} = c$ дає $x + b = c^2$ , звідки $x = c^2 - b$ (за умови $c \ge 0$ ).

Права частина мусить бути невід'ємною

Оскільки $\sqrt{\ldots} \ge 0$ , рівняння $\sqrt{f(x)} = g(x)$ може мати корені лише там, де $g(x) \ge 0$ . Якщо права частина від'ємна — коренів немає.

Приклад 1 — найпростіше рівняння

Розв'яжемо $\sqrt{2x - 1} = 5$ .

Права частина $5 \ge 0$ — рівняння може мати корені;
підносимо обидві частини до квадрата: $2x - 1 = 25$ ;
звідси $2x = 26$ і $x = 13$ ;
перевірка: $\sqrt{2\cdot13 - 1} = \sqrt{25} = 5$ ✅.

Відповідь: $x = 13$ .

Сторонні корені

Піднесення до квадрата — необоротна дія: воно може додати «зайві» корені, яких не було в початковому рівнянні. Тому кожен знайдений корінь обов'язково перевіряють підстановкою (або через умову $g(x) \ge 0$ ).

Механізм появи сторонніх коренів видно на найпростішому прикладі. Рівність $-3 = 3$ хибна, але після піднесення до квадрата вона перетворюється на правильну $9 = 9$ . Квадрат «стирає» різницю в знаках — тому те, що після нього стало рівністю, до нього рівністю бути не зобов'язане.

Наприклад, у рівнянні $\sqrt{x+2} = x$ після квадрата дістаємо $x^2 - x - 2 = 0$ з коренями $x = 2$ і $x = -1$ . Перевірка: $x = 2$ підходить ( $\sqrt{4}=2$ ), а $x = -1$ — сторонній (права частина від'ємна). Отже, корінь лише один: $x = 2$ .

Алгоритм

Відокремити корінь; переконатися, що права частина може бути $\ge 0$ .
Піднести обидві частини до квадрата.
Розв'язати отримане рівняння.
Перевірити кожен корінь у початковому рівнянні; сторонні відкинути.

Перший крок — «відокремити корінь» — часто пропускають, а він принциповий. Якщо підносити до квадрата рівняння $\sqrt{x} + 1 = 4$ як є, ліворуч вийде $x + 2\sqrt{x} + 1$ — корінь нікуди не подівся. Спершу треба дістати $\sqrt{x} = 3$ , і лише тоді підносити.

Приклад 2 — зі стороннім коренем

Розв'яжемо $\sqrt{x + 7} = x - 5$ .

Права частина має бути невід'ємною: $x - 5 \ge 0$ , тобто $x \ge 5$ ;
підносимо до квадрата: $x + 7 = (x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$ ;
переносимо все вправо: $x^2 - 11x + 18 = 0$ ;
за теоремою Вієта корені $x_1 = 9$ , $x_2 = 2$ (сума $11$ , добуток $18$ );
перевіряємо умову $x \ge 5$ : корінь $x = 2$ їй не задовольняє — сторонній;
перевірка $x = 9$ : $\sqrt{9+7} = \sqrt{16} = 4$ і $9 - 5 = 4$ ✅.

Відповідь: $x = 9$ . Без перевірки у відповідь потрапив би зайвий корінь $x = 2$ : при ньому ліва частина дорівнює $3$ , а права $-3$ — рівності немає.

Область визначення теж важлива

Крім умови на праву частину, підкореневий вираз має бути невід'ємним: $f(x) \ge 0$ . Утім, якщо ти перевіряєш корені прямою підстановкою у початкове рівняння, обидві умови перевіряються автоматично — тому підстановка надійніша за формальні викладки.

Типові помилки

Не перевіряють корені. Головна помилка теми: піднесення до квадрата майже завжди може дати сторонній корінь.
Підносять до квадрата, не відокремивши корінь. Тоді корінь лишається у виразі.
Забувають умову $g(x) \ge 0$ і приймають корені, за яких права частина від'ємна.
Підносять до квадрата почленно. $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ — потрібна повна формула квадрата суми.
Вважають, що коренів немає, не перевіривши всі випадки. Від'ємна права частина забороняє корені лише там, де вона справді від'ємна.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Якщо коренів кілька — вводь їх через «;» (напр. -1; 2), порядок не важливий. Корінь у вводі можна писати як sqrt(x) або √x.