НМТ Математика

Числові проміжки. Нерівності

Нерівності описують не окреме число, а цілу множину — і саме тому вони складніші за рівняння. Відповіддю тут є проміжок, тому до звичної алгебри додається вміння правильно його записати й зобразити. Ця тема — фундамент для всього подальшого: областей визначення, методу інтервалів, логарифмічних і показникових нерівностей. Помилка, засвоєна тут, повторюватиметься в кожній із них.

Числові проміжки

Множину чисел між двома точками позначають проміжком. Квадратна дужка означає, що межа входить, кругла — що не входить:

Біля нескінченності дужка завжди кругла: +∞+\infty — не число, тому «увійти» в проміжок воно не може. Запис [2; +∞)[2;\,+\infty) правильний, а [2; +∞][2;\,+\infty] — ні.

Нерівності та їх властивості

Нерівність порівнює два вирази знаками >>, <<, ≥\geq, ≤\leq. Основні властивості:

  • до обох частин можна додавати (віднімати) одне й те саме число;
  • обидві частини можна множити (ділити) на додатне число — знак зберігається;
  • при множенні (діленні) на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.
Найважливіше правило

Ділиш або множиш на від'ємне — перевертай знак: з >> на << і навпаки.

Чому так? Подивись на очевидну нерівність 2<52 < 5. Помножимо обидві частини на −1-1: зліва буде −2-2, справа −5-5. Але −2>−5-2 > -5 — знак справді розвернувся. Числова пряма пояснює це наочно: множення на від'ємне «віддзеркалює» точки відносно нуля, тому те, що було лівіше, стає правіше.

Приклад 1 — від'ємний коефіцієнт

Розв'яжемо нерівність −3x+6>0-3x + 6 > 0.

  1. Переносимо вільний член: −3x>−6-3x > -6;
  2. ділимо обидві частини на −3-3 і розвертаємо знак: x<2x < 2;
  3. записуємо проміжком: x∈(−∞; 2)x \in (-\infty;\ 2).

Перевірка: візьмемо x=0x = 0 з отриманого проміжку. Тоді −3⋅0+6=6>0-3\cdot0 + 6 = 6 > 0 ✅. А візьмемо x=3x = 3 (поза проміжком): −9+6=−3>0-9 + 6 = -3 > 0 — хибно ✅.

Лінійні нерівності

Лінійна нерівність ax+b>0ax + b > 0 розв'язується як рівняння, але з урахуванням знака aa. Розв'язок зображують на числовій прямій: зафарбований промінь і точка (відкрита для строгої нерівності, закрита — для несуворої):

Правило «порожня чи зафарбована точка» просте: строгий знак (<<, >>) — точка порожня, бо межа не входить; нестрогий (≤\le, ≥\ge) — точка зафарбована. Той самий поділ відповідає круглій і квадратній дужкам у записі проміжку.

Системи нерівностей

Розв'язок системи нерівностей — це перетин розв'язків кожної з них (спільна частина). Порухай кінці проміжків:

Порада

Система «x>ax > a і x<bx < b» дає інтервал (a;b)(a; b) — перетин двох променів. Сукупність «x<ax < a або x>bx > b» — навпаки, об'єднання.

Найнадійніший спосіб не помилитися — малювати. Познач розв'язок кожної нерівності на одній числовій прямій різними штрихуваннями: спільна зафарбована ділянка й буде відповіддю. Окремо перевір, чи не виявився перетин порожнім: система x>5x > 5 і x<3x < 3 розв'язків не має.

Приклад 2 — система нерівностей

Розв'яжемо систему: 2x−1>32x - 1 > 3 і x+4≤10x + 4 \le 10.

  1. Перша нерівність: 2x>42x > 4, тобто x>2x > 2;
  2. друга: x≤6x \le 6;
  3. перетинаємо два проміжки: (2; +∞)(2;\ +\infty) і (−∞; 6](-\infty;\ 6];
  4. спільна частина — (2; 6](2;\ 6].

Відповідь: x∈(2; 6]x \in (2;\ 6]. Зверни увагу на дужки: ліва кругла (знак строгий), права квадратна (знак нестрогий). Цілих розв'язків тут п'ять: 3,4,5,63, 4, 5, 6 — і саме про їхню кількість часто питають на НМТ.

Типові помилки

  • Не розвертають знак при діленні на від'ємне. Найпоширеніша помилка теми. Якщо коефіцієнт при xx від'ємний, знак нерівності обов'язково змінюється.
  • Плутають круглу дужку з квадратною. Строгий знак — кругла, нестрогий — квадратна.
  • Ставлять квадратну дужку біля нескінченності.
  • Плутають перетин з об'єднанням. «І» — це перетин (спільна частина), «або» — об'єднання.
  • Забувають перевірити, чи не порожній перетин. Система цілком може не мати розв'язків.
  • Забувають про межу, рахуючи цілі розв'язки. У проміжку (2; 6](2;\,6] число 66 враховується, а 22 — ні.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Числові відповіді — одним числом. Для питань про знак і належність проміжку натисни потрібний варіант.

Завдання формату НМТ

Завдання в тому вигляді, як їх дають на національному мультипредметному тесті: вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), установлення відповідності та коротка відповідь десятковим дробом. Там, де є позначка «Прототип», задачу побудовано за типом реального завдання НМТ минулих років; числа в умові щоразу нові.

  • Розв’язок системи нерівностей

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2025 · зошит 1 · №3

  • Лінійна нерівність

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2023 · зошит 1 · №4

  • Відповідність: нерівність ↔ проміжок

    Відповідність

  • Кількість цілих розв’язків системи

    Коротка відповідь

Приклади розв’язання завдань НМТ

Так розв’язують завдання формату НМТ із цієї теми — по одному прикладу на кожен формат: вибір відповіді, відповідність, коротка відповідь. У розділі «Завдання формату НМТ» числа щоразу нові, а тут кожен крок розписано.

  1. 1Розв’язок системи нерівностей
    Вибір А–Д
    Прототип: НМТ 2025 · зошит 1 · №3
    Позначте число, що є розв’язком системи нерівностей {x>1,x≤5. \begin{cases} x > 1, \\ x \le 5. \end{cases}
    • А2
    • Б-5
    • В9
    • Г-11
    • Д1
    Розв’язок системи — спільна частина обох нерівностей. Строга нерівність межу не містить.
    Показати розв’язання
    1. 1
      x∈(1; 5]x \in (1;\ 5]; з наведених чисел цьому проміжку належить лише 2. 2.
    Відповідь: А) 2 2
  2. 2Відповідність: нерівність ↔ проміжок
    Відповідність
    Установіть відповідність між нерівністю (1–3) та множиною її розв’язків (А–Д).
    А[−5; 0)[-5;\ 0)
    Б(−∞; −5)(-\infty;\ -5)
    В(−∞; 0](-\infty;\ 0]
    Г(0; +∞)(0;\ +\infty)
    Д[−5; +∞)[-5;\ +\infty)
    • 1.x≤0x \le 0
    • 2.x<−5x < -5
    • 3.−5≤x<0-5 \le x < 0
    Нестрога нерівність — квадратна дужка, строга — кругла; біля нескінченності дужка завжди кругла.
    Показати розв’язання
    1. 1
      1 — В: x≤0⇔(−∞; 0] x \le 0 \Leftrightarrow (-\infty;\ 0]
    2. 2
      2 — Б: x<−5⇔(−∞; −5) x < -5 \Leftrightarrow (-\infty;\ -5)
    3. 3
      3 — А: −5≤x<0⇔[−5; 0) -5 \le x < 0 \Leftrightarrow [-5;\ 0)
    Відповідь:
    • 1 — В: x≤0  →  (−∞; 0] x \le 0 \;\to\; (-\infty;\ 0]
    • 2 — Б: x<−5  →  (−∞; −5) x < -5 \;\to\; (-\infty;\ -5)
    • 3 — А: −5≤x<0  →  [−5; 0) -5 \le x < 0 \;\to\; [-5;\ 0)
  3. 3Кількість цілих розв’язків системи
    Коротка відповідь
    Скільки цілих розв’язків має система нерівностей {2x−7≥−13,−3x−7>−28 ? \begin{cases} 2x - 7 \ge -13, \\ -3x - 7 > -28 \end{cases}\,?
    Розв’яжіть кожну нерівність, знайдіть спільний проміжок і перелічіть цілі числа в ньому.
    Показати розв’язання
    1. 1
      x≥−3, x<7x \ge -3,\ x < 7; цілі розв’язки від −3 -3 до 6 6: 10 10
    Відповідь: 1010