Числові проміжки. Нерівності

Нерівності описують не окреме число, а цілу множину — і саме тому вони складніші за рівняння. Відповіддю тут є проміжок, тому до звичної алгебри додається вміння правильно його записати й зобразити. Ця тема — фундамент для всього подальшого: областей визначення, методу інтервалів, логарифмічних і показникових нерівностей. Помилка, засвоєна тут, повторюватиметься в кожній із них.

Числові проміжки

Множину чисел між двома точками позначають проміжком. Квадратна дужка означає, що межа входить, кругла — що не входить:

Біля нескінченності дужка завжди кругла: $+\infty$ — не число, тому «увійти» в проміжок воно не може. Запис $[2;\,+\infty)$ правильний, а $[2;\,+\infty]$ — ні.

Нерівності та їх властивості

Нерівність порівнює два вирази знаками $>$ , $<$ , $\geq$ , $\leq$ . Основні властивості:

до обох частин можна додавати (віднімати) одне й те саме число;
обидві частини можна множити (ділити) на додатне число — знак зберігається;
при множенні (діленні) на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

Найважливіше правило

Ділиш або множиш на від'ємне — перевертай знак: з $>$ на $<$ і навпаки.

Чому так? Подивись на очевидну нерівність $2 < 5$ . Помножимо обидві частини на $-1$ : зліва буде $-2$ , справа $-5$ . Але $-2 > -5$ — знак справді розвернувся. Числова пряма пояснює це наочно: множення на від'ємне «віддзеркалює» точки відносно нуля, тому те, що було лівіше, стає правіше.

Приклад 1 — від'ємний коефіцієнт

Розв'яжемо нерівність $-3x + 6 > 0$ .

Переносимо вільний член: $-3x > -6$ ;
ділимо обидві частини на $-3$ і розвертаємо знак: $x < 2$ ;
записуємо проміжком: $x \in (-\infty;\ 2)$ .

Перевірка: візьмемо $x = 0$ з отриманого проміжку. Тоді $-3\cdot0 + 6 = 6 > 0$ ✅. А візьмемо $x = 3$ (поза проміжком): $-9 + 6 = -3 > 0$ — хибно ✅.

Лінійні нерівності

Лінійна нерівність $ax + b > 0$ розв'язується як рівняння, але з урахуванням знака $a$ . Розв'язок зображують на числовій прямій: зафарбований промінь і точка (відкрита для строгої нерівності, закрита — для несуворої):

Правило «порожня чи зафарбована точка» просте: строгий знак ( $<$ , $>$ ) — точка порожня, бо межа не входить; нестрогий ( $\le$ , $\ge$ ) — точка зафарбована. Той самий поділ відповідає круглій і квадратній дужкам у записі проміжку.

Системи нерівностей

Розв'язок системи нерівностей — це перетин розв'язків кожної з них (спільна частина). Порухай кінці проміжків:

Порада

Система « $x > a$ і $x < b$ » дає інтервал $(a; b)$ — перетин двох променів. Сукупність « $x < a$ або $x > b$ » — навпаки, об'єднання.

Найнадійніший спосіб не помилитися — малювати. Познач розв'язок кожної нерівності на одній числовій прямій різними штрихуваннями: спільна зафарбована ділянка й буде відповіддю. Окремо перевір, чи не виявився перетин порожнім: система $x > 5$ і $x < 3$ розв'язків не має.

Приклад 2 — система нерівностей

Розв'яжемо систему: $2x - 1 > 3$ і $x + 4 \le 10$ .

Перша нерівність: $2x > 4$ , тобто $x > 2$ ;
друга: $x \le 6$ ;
перетинаємо два проміжки: $(2;\ +\infty)$ і $(-\infty;\ 6]$ ;
спільна частина — $(2;\ 6]$ .

Відповідь: $x \in (2;\ 6]$ . Зверни увагу на дужки: ліва кругла (знак строгий), права квадратна (знак нестрогий). Цілих розв'язків тут п'ять: $3, 4, 5, 6$ — і саме про їхню кількість часто питають на НМТ.

Типові помилки

Не розвертають знак при діленні на від'ємне. Найпоширеніша помилка теми. Якщо коефіцієнт при $x$ від'ємний, знак нерівності обов'язково змінюється.
Плутають круглу дужку з квадратною. Строгий знак — кругла, нестрогий — квадратна.
Ставлять квадратну дужку біля нескінченності.
Плутають перетин з об'єднанням. «І» — це перетин (спільна частина), «або» — об'єднання.
Забувають перевірити, чи не порожній перетин. Система цілком може не мати розв'язків.
Забувають про межу, рахуючи цілі розв'язки. У проміжку $(2;\,6]$ число $6$ враховується, а $2$ — ні.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Числові відповіді — одним числом. Для питань про знак і належність проміжку натисни потрібний варіант.

Числові проміжки. Нерівності