Модуль числа. Рівняння та нерівності з модулем

Модуль — операція, що «забуває знак». Через це кожне рівняння з модулем розпадається на кілька випадків, і головна складність теми не в обчисленнях, а в тому, щоб жодного випадку не загубити. Найнадійніший спосіб не заплутатися — тримати в голові геометричний зміст модуля: це відстань. Тоді більшість задач розв'язується малюванням числової прямої, без формального розбору випадків.

Означення

Модуль (абсолютна величина) числа $a$ — це його відстань від нуля на числовій прямій; він невід'ємний:

$|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0, \\ -a, & a < 0. \end{cases}$

Наприклад, $|7| = 7$, $|-7| = 7$, $|0| = 0$. Основні властивості: $|a| \ge 0$, $|-a| = |a|$, $|ab| = |a|\,|b|$, $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$.

Другий рядок означення часто бентежить: чому $-a$, адже це «мінус»? Але якщо $a$ від'ємне, то $-a$ додатне. Наприклад, при $a = -7$ маємо $-a = 7$. Запис $-a$ означає «протилежне до $a$», а не «від'ємне число».

Зверни увагу й на те, чого серед властивостей немає: модуля суми. Загалом $|a + b| \ne |a| + |b|$ — перевір на $a = 3$, $b = -3$: ліворуч $0$, праворуч $6$.

Геометричний зміст

Вираз $|x - b|$ — це відстань між точками $x$ і $b$ на прямій. Тому $|x_1 - x_2|$ дорівнює відстані між точками $x_1$ і $x_2$. Порухай повзунки:

Рівняння з модулем

Рівняння $|x - b| = c$ (при $c > 0$) означає «відстань від $x$ до $b$ дорівнює $c$» — таких точок дві:

$|x - b| = c \iff x - b = \pm c \iff x = b \pm c.$

Якщо $c = 0$ — один корінь $x = b$; якщо $c < 0$ — розв'язків немає (модуль не буває від'ємним).

Нерівності з модулем

$|x - b| < c \iff -c < x - b < c \iff x \in (b - c;\ b + c);$

$|x - b| > c \iff x - b < -c \ \text{або} \ x - b > c \iff x < b - c \ \text{або} \ x > b + c.$

Геометрична підказка знімає потребу запам'ятовувати обидві формули. «Відстань менша за $c$» — це коло навколо точки $b$, тобто один проміжок. «Відстань більша за $c$» — усе, що поза ним, тобто два промені. Зверни увагу, що в другому випадку відповідь записують через об'єднання, а не подвійною нерівністю: запис $c < x - b < -c$ безглуздий.

Типові помилки

• Знаходять лише один корінь рівняння. Рівняння $|f(x)| = c$ при $c > 0$ дає два випадки.
• Розв'язують рівняння з від'ємною правою частиною. Тут одразу «розв'язків немає».
• Плутають проміжок із двома променями. «Менше» — усередині, «більше» — назовні.
• Записують «більше» подвійною нерівністю. Для двох променів потрібне об'єднання.
• Вважають, що $|-a| = -|a|$ або що модуль просто «прибирає мінус із запису». При невідомому знаку виразу треба розглядати випадки.

Перевір себе