НМТ Математика

Теорема косинусів. Теорема синусів

Ці дві теореми дозволяють розв'язувати будь-які трикутники (не лише прямокутні) — знаходити невідомі сторони й кути.

До цього моменту весь інструментарій працював лише за наявності прямого кута: теорема Піфагора, означення синуса й косинуса через катети. Але на НМТ трикутники здебільшого довільні. Теореми косинусів і синусів знімають це обмеження — разом вони покривають усі випадки, коли трикутник узагалі визначається однозначно. Уся складність зводиться до одного питання: яку з двох теорем брати. Відповідь залежить від того, що саме дано в умові.

Теорема косинусів

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними:

c2=a2+b2−2abcos⁡C.c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.

Це узагальнення теореми Піфагора: при C=90°C = 90° маємо cos⁡90°=0\cos 90° = 0, і формула перетворюється на c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2.

Порухай сторони й кут — третя сторона перерахується:

Коли застосовувати

Теорему косинусів зручно використовувати, коли відомо дві сторони й кут між ними (шукаємо третю сторону) або три сторони (шукаємо кут).

Доданок −2abcos⁡C-2ab\cos C — це «поправка на непрямокутність». Якщо кут CC гострий, косинус додатний, поправка від'ємна — і сторона cc виходить коротшою, ніж дала б теорема Піфагора. Якщо ж кут тупий, косинус від'ємний, і сторона cc виходить довшою. Це зручна перевірка результату на здоровий глузд.

Приклад 1 — дві сторони й кут між ними

У трикутнику a=7a = 7, b=8b = 8, а кут між ними C=60°C = 60°. Знайдемо сторону cc.

  1. Записуємо теорему косинусів: c2=72+82−2⋅7⋅8⋅cos⁡60°c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 60°;
  2. підставляємо cos⁡60°=12\cos 60° = \dfrac{1}{2}: c2=49+64−112⋅12c^2 = 49 + 64 - 112 \cdot \dfrac{1}{2};
  3. рахуємо: c2=113−56=57c^2 = 113 - 56 = 57;
  4. отже c=57≈7,55c = \sqrt{57} \approx 7{,}55.

Перевірка: кут гострий, тому cc має бути меншим за 49+64=113≈10,6\sqrt{49 + 64} = \sqrt{113} \approx 10{,}6 — так і є. ✅

Щоб знайти кут за трьома сторонами, формулу переписують так:

cos⁡C=a2+b2−c22ab.\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.

Знак результату одразу каже про вид кута: додатний косинус — кут гострий, від'ємний — тупий, нуль — прямий. Тому цією формулою зручно перевіряти, чи є трикутник прямокутним, навіть не обчислюючи самого кута.

Приклад 2 — кут за трьома сторонами

Сторони трикутника дорівнюють a=5a = 5, b=6b = 6, c=7c = 7. Знайдемо кут CC проти найбільшої сторони.

  1. Підставляємо у формулу: cos⁡C=52+62−722⋅5⋅6\cos C = \dfrac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6};
  2. рахуємо чисельник: 25+36−49=1225 + 36 - 49 = 12;
  3. знаменник: 6060, отже cos⁡C=1260=0,2\cos C = \dfrac{12}{60} = 0{,}2;
  4. косинус додатний, тож кут гострий: C=arccos⁡0,2≈78,5°C = \arccos 0{,}2 \approx 78{,}5°.

Отже, трикутник зі сторонами 55, 66, 77 — гострокутний.

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R,\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R,

де RR — радіус описаного кола.

Коли застосовувати

Теорему синусів зручно використовувати, коли відомо сторону й два кути або дві сторони й кут проти однієї з них.

Із цієї рівності випливає й корисне якісне правило: проти більшої сторони лежить більший кут. Якщо в умові просять порівняти кути трикутника зі сторонами 44, 66 і 99, відповідь можна дати без обчислень — найбільший кут лежить проти сторони 99.

Друга частина рівності, =2R= 2R, — готовий інструмент для задач про описане коло: щоб знайти його радіус, достатньо однієї сторони й протилежного їй кута.

Приклад 3 — сторона за двома кутами

У трикутнику A=45°A = 45°, B=60°B = 60°, сторона a=10a = 10. Знайдемо сторону bb.

  1. Записуємо теорему синусів: asin⁡A=bsin⁡B\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B};
  2. виражаємо шукану сторону: b=asin⁡Bsin⁡Ab = \dfrac{a \sin B}{\sin A};
  3. підставляємо sin⁡60°=32\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2} і sin⁡45°=22\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}: b=10⋅3222=1032≈12,25b = \dfrac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{\dfrac{3}{2}} \approx 12{,}25.

Перевірка: кут BB більший за кут AA, тому й сторона bb має бути більшою за a=10a = 10. ✅

Як обрати теорему

Що даноЯку теорему брати
Дві сторони й кут між нимикосинусів (шукаємо третю сторону)
Три стороникосинусів (шукаємо будь-який кут)
Сторона й два кутисинусів
Дві сторони й кут проти однієї з нихсинусів

Просте правило: якщо серед даних є пара «сторона — протилежний їй кут», працює теорема синусів; якщо такої пари немає — теорема косинусів.

Типові помилки

  • Беруть не той кут у теоремі косинусів. У формулі c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C кут CC — це кут між сторонами aa і bb, тобто протилежний стороні cc. Кут із іншої вершини сюди підставляти не можна.
  • Забувають, що результат — це c2c^2. Як і в теоремі Піфагора, наприкінці треба добути корінь.
  • Втрачають знак мінус при тупому куті. Наприклад, cos⁡120°=−0,5\cos 120° = -0{,}5, і доданок −2abcos⁡C-2ab\cos C стає додатним. Якщо тупий кут дав меншу сторону — десь загубився знак.
  • Порушують відповідність у теоремі синусів. У кожному відношенні сторона й синус мають стосуватися протилежних одне одному елементів.
  • Забувають, що 2R2R — це діаметр, а не радіус. Якщо в задачі питають RR, результат теореми синусів треба поділити навпіл.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Відповіді — одним числом (сторона або кут у градусах, без «°»).

Завдання формату НМТ

Завдання в тому вигляді, як їх дають на національному мультипредметному тесті: вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), установлення відповідності та коротка відповідь десятковим дробом. Там, де є позначка «Прототип», задачу побудовано за типом реального завдання НМТ минулих років; числа в умові щоразу нові.

  • Сторона за теоремою косинусів

    Вибір А–Д

  • Радіус описаного кола за теоремою синусів

    Вибір А–Д

  • Косинус найбільшого кута

    Коротка відповідь

Приклади розв’язання завдань НМТ

Так розв’язують завдання формату НМТ із цієї теми — по одному прикладу на кожен формат: вибір відповіді, відповідність, коротка відповідь. У розділі «Завдання формату НМТ» числа щоразу нові, а тут кожен крок розписано.

  1. 1Сторона за теоремою косинусів
    Вибір А–Д
    Дві сторони трикутника дорівнюють 6 6 і 10 10, а кут між ними — 120∘. 120^\circ. Знайдіть третю сторону.
    • А76\sqrt{76}
    • Б196196
    • В136\sqrt{136}
    • Г1616
    • Д1414
    c2=a2+b2−2abcos⁡γ.c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma.
    Показати розв’язання
    1. 1
      c2=62+102−2⋅6⋅10⋅cos⁡120∘=136+60=196c^2 = 6^2 + 10^2 - 2\cdot6\cdot10\cdot\cos 120^\circ = 136 + 60 = 196
    2. 2
      c=14c = 14
    Відповідь: Д) 14 14
  2. 2Радіус описаного кола за теоремою синусів
    Вибір А–Д
    У трикутнику сторона, що лежить навпроти кута 30∘ 30^\circ, дорівнює 14. 14. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.
    • А14214\sqrt{2}
    • Б77
    • В2828
    • Г1414
    • Д14314\sqrt{3}
    asin⁡α=2R.\dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R.
    Показати розв’язання
    1. 1
      R=142sin⁡30∘=14R = \dfrac{14}{2\sin 30^\circ} = 14
    Відповідь: Г) 14 14
  3. 3Косинус найбільшого кута
    Коротка відповідь
    Сторони трикутника дорівнюють 3, 4 3,\ 4 і 5. 5. Знайдіть косинус найбільшого кута трикутника.
    Найбільший кут лежить навпроти найбільшої сторони; cos⁡γ=a2+b2−c22ab. \cos\gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.
    Показати розв’язання
    1. 1
      cos⁡γ=9+16−252⋅3⋅4=024=0\cos\gamma = \dfrac{9 + 16 - 25}{2\cdot3\cdot4} = \dfrac{0}{24} = 0
    Відповідь: 00