Теорема косинусів. Теорема синусів

Ці дві теореми дозволяють розв'язувати будь-які трикутники (не лише прямокутні) — знаходити невідомі сторони й кути.

До цього моменту весь інструментарій працював лише за наявності прямого кута: теорема Піфагора, означення синуса й косинуса через катети. Але на НМТ трикутники здебільшого довільні. Теореми косинусів і синусів знімають це обмеження — разом вони покривають усі випадки, коли трикутник узагалі визначається однозначно. Уся складність зводиться до одного питання: яку з двох теорем брати. Відповідь залежить від того, що саме дано в умові.

Теорема косинусів

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.$

Це узагальнення теореми Піфагора: при $C = 90°$ маємо $\cos 90° = 0$ , і формула перетворюється на $c^2 = a^2 + b^2$ .

Порухай сторони й кут — третя сторона перерахується:

Коли застосовувати

Теорему косинусів зручно використовувати, коли відомо дві сторони й кут між ними (шукаємо третю сторону) або три сторони (шукаємо кут).

Доданок $-2ab\cos C$ — це «поправка на непрямокутність». Якщо кут $C$ гострий, косинус додатний, поправка від'ємна — і сторона $c$ виходить коротшою, ніж дала б теорема Піфагора. Якщо ж кут тупий, косинус від'ємний, і сторона $c$ виходить довшою. Це зручна перевірка результату на здоровий глузд.

Приклад 1 — дві сторони й кут між ними

У трикутнику $a = 7$ , $b = 8$ , а кут між ними $C = 60°$ . Знайдемо сторону $c$ .

Записуємо теорему косинусів: $c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 60°$ ;
підставляємо $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$ : $c^2 = 49 + 64 - 112 \cdot \dfrac{1}{2}$ ;
рахуємо: $c^2 = 113 - 56 = 57$ ;
отже $c = \sqrt{57} \approx 7{,}55$ .

Перевірка: кут гострий, тому $c$ має бути меншим за $\sqrt{49 + 64} = \sqrt{113} \approx 10{,}6$ — так і є. ✅

Щоб знайти кут за трьома сторонами, формулу переписують так:

$\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.$

Знак результату одразу каже про вид кута: додатний косинус — кут гострий, від'ємний — тупий, нуль — прямий. Тому цією формулою зручно перевіряти, чи є трикутник прямокутним, навіть не обчислюючи самого кута.

Приклад 2 — кут за трьома сторонами

Сторони трикутника дорівнюють $a = 5$ , $b = 6$ , $c = 7$ . Знайдемо кут $C$ проти найбільшої сторони.

Підставляємо у формулу: $\cos C = \dfrac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6}$ ;
рахуємо чисельник: $25 + 36 - 49 = 12$ ;
знаменник: $60$ , отже $\cos C = \dfrac{12}{60} = 0{,}2$ ;
косинус додатний, тож кут гострий: $C = \arccos 0{,}2 \approx 78{,}5°$ .

Отже, трикутник зі сторонами $5$ , $6$ , $7$ — гострокутний.

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R,$

де $R$ — радіус описаного кола.

Коли застосовувати

Теорему синусів зручно використовувати, коли відомо сторону й два кути або дві сторони й кут проти однієї з них.

Із цієї рівності випливає й корисне якісне правило: проти більшої сторони лежить більший кут. Якщо в умові просять порівняти кути трикутника зі сторонами $4$ , $6$ і $9$ , відповідь можна дати без обчислень — найбільший кут лежить проти сторони $9$ .

Друга частина рівності, $= 2R$ , — готовий інструмент для задач про описане коло: щоб знайти його радіус, достатньо однієї сторони й протилежного їй кута.

Приклад 3 — сторона за двома кутами

У трикутнику $A = 45°$ , $B = 60°$ , сторона $a = 10$ . Знайдемо сторону $b$ .

Записуємо теорему синусів: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ ;
виражаємо шукану сторону: $b = \dfrac{a \sin B}{\sin A}$ ;
підставляємо $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ і $\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : $b = \dfrac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{\dfrac{3}{2}} \approx 12{,}25$ .

Перевірка: кут $B$ більший за кут $A$ , тому й сторона $b$ має бути більшою за $a = 10$ . ✅

Як обрати теорему

Що дано	Яку теорему брати
Дві сторони й кут між ними	косинусів (шукаємо третю сторону)
Три сторони	косинусів (шукаємо будь-який кут)
Сторона й два кути	синусів
Дві сторони й кут проти однієї з них	синусів

Просте правило: якщо серед даних є пара «сторона — протилежний їй кут», працює теорема синусів; якщо такої пари немає — теорема косинусів.

Типові помилки

Беруть не той кут у теоремі косинусів. У формулі $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ кут $C$ — це кут між сторонами $a$ і $b$ , тобто протилежний стороні $c$ . Кут із іншої вершини сюди підставляти не можна.
Забувають, що результат — це $c^2$ . Як і в теоремі Піфагора, наприкінці треба добути корінь.
Втрачають знак мінус при тупому куті. Наприклад, $\cos 120° = -0{,}5$ , і доданок $-2ab\cos C$ стає додатним. Якщо тупий кут дав меншу сторону — десь загубився знак.
Порушують відповідність у теоремі синусів. У кожному відношенні сторона й синус мають стосуватися протилежних одне одному елементів.
Забувають, що $2R$ — це діаметр, а не радіус. Якщо в задачі питають $R$ , результат теореми синусів треба поділити навпіл.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Відповіді — одним числом (сторона або кут у градусах, без «°»).