НМТ Математика

Геометрія з літерними даними

Задачі «у загальному вигляді»

Частина завдань НМТ (напр. №15) не містить чисел: замість них дано відрізок (скажімо, dd) і кути (α,β\alpha, \beta), а відповідь — це вираз із тригонометричними функціями. Такі задачі перевіряють, чи розумієш ти самі співвідношення, а не лічбу.

Психологічно вони здаються складнішими за звичайні, хоча насправді простіші: тут нема обчислень, де можна помилитися в арифметиці. Уся робота — правильно назвати, який катет протилежний, а який прилеглий, і акуратно підставити одне в інше. Відповідь при цьому обирають із запропонованих варіантів, тому навіть частковий розбір часто дозволяє відкинути більшість із них.

Ключ — прямокутний трикутник

Майже все зводиться до означень у прямокутному трикутнику:

sin⁡α=протилежний катетгіпотенуза,cos⁡α=прилеглий катетгіпотенуза,tg⁡α=протилежнийприлеглий.\sin\alpha = \dfrac{\text{протилежний катет}}{\text{гіпотенуза}}, \qquad \cos\alpha = \dfrac{\text{прилеглий катет}}{\text{гіпотенуза}}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\text{протилежний}}{\text{прилеглий}}.

Звідси виражають будь-який елемент:

катет=гіпотенуза⋅sin⁡α (чиcos⁡α),гіпотенуза=катетsin⁡α.\text{катет} = \text{гіпотенуза}\cdot\sin\alpha \ (\text{чи} \cos\alpha), \qquad \text{гіпотенуза} = \dfrac{\text{катет}}{\sin\alpha}.

Стратегія

Розбий фігуру на прямокутні трикутники, познач шуканий елемент, вирази його покроково через дані відрізки й кути, а потім склади все в один вираз.

Найважливіший крок стратегії — знайти спільний елемент двох трикутників. Зазвичай це сторона, яка входить в обидва: у першому трикутнику її виражають через дане, у другому — використовують як уже відоме. Саме через цей спільний елемент вирази й «зчіплюються» в один ланцюжок.

Приклад (тип №15)

Прямокутник ABCDABCD, точка KK на ADAD, BK=dBK = d, ∠AKB=α\angle AKB = \alpha, ∠KCD=β\angle KCD = \beta.

У трикутнику ABKABK (прямий кут при AA) гіпотенуза — це BK=dBK = d, тому AK=dcos⁡αAK = d\cos\alpha, AB=dsin⁡αAB = d\sin\alpha.

У трикутнику KDCKDC прямий кут при DD, а кут β\beta — при вершині CC. Тоді KDKD — протилежний катет, а DCDC — прилеглий, тобто tg⁡β=KDDC\operatorname{tg}\beta = \dfrac{KD}{DC}, звідки KD=DC tg⁡βKD = DC\,\operatorname{tg}\beta. Але DC=AB=dsin⁡αDC = AB = d\sin\alpha, отже KD=dsin⁡α tg⁡βKD = d\sin\alpha\,\operatorname{tg}\beta.

Отже AD=AK+KD=d(cos⁡α+sin⁡α tg⁡β)AD = AK + KD = d\left(\cos\alpha + \sin\alpha\,\operatorname{tg}\beta\right).

Простеж логіку ще раз: спільним елементом двох трикутників тут виявився відрізок ABAB (він же DCDC — протилежні сторони прямокутника рівні). Саме він дозволив перейти від першого трикутника до другого.

Приклад 2 — висота через кут нахилу

До площини з точки AA проведено похилу AB=mAB = m, що утворює з площиною кут α\alpha. Виразимо довжину перпендикуляра (висоти) hh і проєкції похилої pp.

  1. Похила, її проєкція й перпендикуляр утворюють прямокутний трикутник, де похила — гіпотенуза, а кут α\alpha лежить між похилою та проєкцією;
  2. перпендикуляр hh — катет, протилежний куту α\alpha: h=msin⁡αh = m\sin\alpha;
  3. проєкція pp — катет, прилеглий до кута: p=mcos⁡αp = m\cos\alpha.

Відповідь: h=msin⁡αh = m\sin\alpha, p=mcos⁡αp = m\cos\alpha. Перевірка: h2+p2=m2(sin⁡2α+cos⁡2α)=m2h^2 + p^2 = m^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = m^2 ✅ — теорема Піфагора виконується.

Перевіряй відповідь «крайніми» випадками

Готовий вираз легко перевірити підстановкою зручного кута. У прикладі вище при α=90°\alpha = 90° похила стає перпендикуляром: h=msin⁡90°=mh = m\sin 90° = m ✅, а проєкція p=mcos⁡90°=0p = m\cos 90° = 0 ✅ — усе логічно. Якби у відповіді синус і косинус стояли навпаки, ця перевірка одразу б це показала.

Типові помилки

  • Плутають протилежний катет із прилеглим. Це головне джерело помилок у темі. Кожен раз підписуй на рисунку, від якого кута ти відштовхуєшся.
  • Множать там, де треба ділити. Катет = гіпотенуза ⋅sin⁡\cdot \sin, а гіпотенуза = катет /sin⁡/ \sin. Орієнтир: гіпотенуза найдовша, тож при переході до неї вираз має зростати, а синус менший за одиницю — отже, ділення.
  • Беруть кут не в тому трикутнику. Кут β\beta у прикладі лежить при вершині CC, а не при KK; це змінює, який катет протилежний.
  • Забувають, що протилежні сторони прямокутника рівні. Саме ця рівність зазвичай і зчіплює два трикутники.
  • Не спрощують відповідь. Варіанти в завданні зазвичай подані у згорнутому вигляді (винесений спільний множник), тож свій вираз теж варто згорнути.

Перевір себе

Формат відповіді

Обери правильний вираз із-поміж запропонованих. Розрізняй sin⁡/cos⁡/tg⁡\sin/\cos/\operatorname{tg} і те, що стоїть у чисельнику чи знаменнику.

Завдання формату НМТ

Завдання в тому вигляді, як їх дають на національному мультипредметному тесті: вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), установлення відповідності та коротка відповідь десятковим дробом. Там, де є позначка «Прототип», задачу побудовано за типом реального завдання НМТ минулих років; числа в умові щоразу нові.

  • Сторона прямокутника в літерах

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2024 · зошит 1 · №15

  • Вираження відрізка через літери

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2025 · зошит 2 · №15

  • Вираження площі через літери

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2025 · зошит 1 · №15

  • Площа трапеції в літерах

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2025 · зошит 1 · №15

Приклади розв’язання завдань НМТ

Так розв’язують завдання формату НМТ із цієї теми — по одному прикладу на кожен формат: вибір відповіді, відповідність, коротка відповідь. У розділі «Завдання формату НМТ» числа щоразу нові, а тут кожен крок розписано.

  1. 1Вираження відрізка через літери
    Вибір А–Д
    Прототип: НМТ 2025 · зошит 2 · №15
    Паралелограм зі сторонами a a і b b та кутом α \alpha між ними. Виразіть висоту, проведену до сторони a. a.
    • Аbcos⁡αb\cos\alpha
    • Бbsin⁡α\dfrac{b}{\sin\alpha}
    • Вasin⁡αa\sin\alpha
    • Гabsin⁡αab\sin\alpha
    • Дbsin⁡αb\sin\alpha
    Висота — протилежний катет до α \alpha у трикутнику з гіпотенузою b b
    Показати розв’язання
    1. 1
      h=bsin⁡αh = b\sin\alpha
    Відповідь: Д) bsin⁡α b\sin\alpha
  2. 2Вираження площі через літери
    Вибір А–Д
    Прототип: НМТ 2025 · зошит 1 · №15
    Паралелограм зі сторонами a a і b b та кутом α \alpha між ними. Виразіть площу.
    • А12absin⁡α\dfrac{1}{2}ab\sin\alpha
    • Бabcos⁡αab\cos\alpha
    • Вabsin⁡αab\sin\alpha
    • Гab tg⁡αab\,\operatorname{tg}\alpha
    • Дabsin⁡α\dfrac{ab}{\sin\alpha}
    S=a⋅h,S = a\cdot h, де h=bsin⁡α h = b\sin\alpha
    Показати розв’язання
    1. 1
      h=bsin⁡α⇒S=a⋅h=absin⁡αh = b\sin\alpha \Rightarrow S = a\cdot h = ab\sin\alpha
    Відповідь: В) absin⁡α ab\sin\alpha
  3. 3Сторона прямокутника в літерах
    Вибір А–Д
    Прототип: НМТ 2024 · зошит 1 · №15
    Точка K K лежить на стороні AD AD прямокутника ABCD ABCD, BK=d, ∠AKB=α, KD=m. BK = d,\ \angle AKB = \alpha,\ KD = m. Визначте довжину сторони AD. AD.
    • Аdcos⁡α−md\cos\alpha - m
    • Бdcos⁡α+md\cos\alpha + m
    • Вdcos⁡α+m\dfrac{d}{\cos\alpha} + m
    • Гd tg α+md\,\mathrm{tg}\,\alpha + m
    • Дdsin⁡α+md\sin\alpha + m
    Розгляньте прямокутний трикутник ABK ABK з гіпотенузою BK. BK.
    Показати розв’язання
    1. 1
      AK=dcos⁡αAK = d\cos\alpha
    2. 2
      AD=AK+KD=dcos⁡α+mAD = AK + KD = d\cos\alpha + m
    Відповідь: Б) dcos⁡α+m d\cos\alpha + m