Геометрія з літерними даними

Задачі «у загальному вигляді»

Частина завдань НМТ (напр. №15) не містить чисел: замість них дано відрізок (скажімо, $d$ ) і кути ( $\alpha, \beta$ ), а відповідь — це вираз із тригонометричними функціями. Такі задачі перевіряють, чи розумієш ти самі співвідношення, а не лічбу.

Психологічно вони здаються складнішими за звичайні, хоча насправді простіші: тут нема обчислень, де можна помилитися в арифметиці. Уся робота — правильно назвати, який катет протилежний, а який прилеглий, і акуратно підставити одне в інше. Відповідь при цьому обирають із запропонованих варіантів, тому навіть частковий розбір часто дозволяє відкинути більшість із них.

Ключ — прямокутний трикутник

Майже все зводиться до означень у прямокутному трикутнику:

$\sin\alpha = \dfrac{\text{протилежний катет}}{\text{гіпотенуза}}, \qquad \cos\alpha = \dfrac{\text{прилеглий катет}}{\text{гіпотенуза}}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\text{протилежний}}{\text{прилеглий}}.$

Звідси виражають будь-який елемент:

$\text{катет} = \text{гіпотенуза}\cdot\sin\alpha \ (\text{чи} \cos\alpha), \qquad \text{гіпотенуза} = \dfrac{\text{катет}}{\sin\alpha}.$

Стратегія

Розбий фігуру на прямокутні трикутники, познач шуканий елемент, вирази його покроково через дані відрізки й кути, а потім склади все в один вираз.

Найважливіший крок стратегії — знайти спільний елемент двох трикутників. Зазвичай це сторона, яка входить в обидва: у першому трикутнику її виражають через дане, у другому — використовують як уже відоме. Саме через цей спільний елемент вирази й «зчіплюються» в один ланцюжок.

Приклад (тип №15)

Прямокутник $ABCD$ , точка $K$ на $AD$ , $BK = d$ , $\angle AKB = \alpha$ , $\angle KCD = \beta$ .

У трикутнику $ABK$ (прямий кут при $A$ ) гіпотенуза — це $BK = d$ , тому $AK = d\cos\alpha$ , $AB = d\sin\alpha$ .

У трикутнику $KDC$ прямий кут при $D$ , а кут $\beta$ — при вершині $C$ . Тоді $KD$ — протилежний катет, а $DC$ — прилеглий, тобто $\operatorname{tg}\beta = \dfrac{KD}{DC}$ , звідки $KD = DC\,\operatorname{tg}\beta$ . Але $DC = AB = d\sin\alpha$ , отже $KD = d\sin\alpha\,\operatorname{tg}\beta$ .

Отже $AD = AK + KD = d\left(\cos\alpha + \sin\alpha\,\operatorname{tg}\beta\right)$ .

Простеж логіку ще раз: спільним елементом двох трикутників тут виявився відрізок $AB$ (він же $DC$ — протилежні сторони прямокутника рівні). Саме він дозволив перейти від першого трикутника до другого.

Приклад 2 — висота через кут нахилу

До площини з точки $A$ проведено похилу $AB = m$ , що утворює з площиною кут $\alpha$ . Виразимо довжину перпендикуляра (висоти) $h$ і проєкції похилої $p$ .

Похила, її проєкція й перпендикуляр утворюють прямокутний трикутник, де похила — гіпотенуза, а кут $\alpha$ лежить між похилою та проєкцією;
перпендикуляр $h$ — катет, протилежний куту $\alpha$ : $h = m\sin\alpha$ ;
проєкція $p$ — катет, прилеглий до кута: $p = m\cos\alpha$ .

Відповідь: $h = m\sin\alpha$ , $p = m\cos\alpha$ . Перевірка: $h^2 + p^2 = m^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = m^2$ ✅ — теорема Піфагора виконується.

Перевіряй відповідь «крайніми» випадками

Готовий вираз легко перевірити підстановкою зручного кута. У прикладі вище при $\alpha = 90°$ похила стає перпендикуляром: $h = m\sin 90° = m$ ✅, а проєкція $p = m\cos 90° = 0$ ✅ — усе логічно. Якби у відповіді синус і косинус стояли навпаки, ця перевірка одразу б це показала.

Типові помилки

Плутають протилежний катет із прилеглим. Це головне джерело помилок у темі. Кожен раз підписуй на рисунку, від якого кута ти відштовхуєшся.
Множать там, де треба ділити. Катет = гіпотенуза $\cdot \sin$ , а гіпотенуза = катет $/ \sin$ . Орієнтир: гіпотенуза найдовша, тож при переході до неї вираз має зростати, а синус менший за одиницю — отже, ділення.
Беруть кут не в тому трикутнику. Кут $\beta$ у прикладі лежить при вершині $C$ , а не при $K$ ; це змінює, який катет протилежний.
Забувають, що протилежні сторони прямокутника рівні. Саме ця рівність зазвичай і зчіплює два трикутники.
Не спрощують відповідь. Варіанти в завданні зазвичай подані у згорнутому вигляді (винесений спільний множник), тож свій вираз теж варто згорнути.

Перевір себе

Формат відповіді

Обери правильний вираз із-поміж запропонованих. Розрізняй $\sin/\cos/\operatorname{tg}$ і те, що стоїть у чисельнику чи знаменнику.