Ромб. Квадрат. Трапеція

Ці три фігури дають найбільше формул серед усієї планіметрії — і найбільше можливостей переплутати їх між собою. Насправді запам'ятовувати треба небагато: майже кожна формула тут виводиться за півхвилини, якщо пам'ятати одну ідею — розрізати фігуру на прямокутні трикутники. Діагоналі ромба, діагональ квадрата, висота трапеції роблять саме це.

Ромб

Ромб — паралелограм, у якого всі сторони рівні. Його особливі властивості:

діагоналі перпендикулярні;
діагоналі діляться навпіл і є бісектрисами кутів;
площа через діагоналі: $S = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$ .

Дві перші властивості разом дають головний робочий прийом: діагоналі розрізають ромб на чотири рівні прямокутні трикутники з катетами $\dfrac{d_1}{2}$ і $\dfrac{d_2}{2}$ . Звідси одразу випливає зв'язок діагоналей зі стороною:

$a^2 = \left(\dfrac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2.$

Приклад 1 — сторона ромба за діагоналями

Діагоналі ромба дорівнюють $16$ і $12$ . Знайдемо сторону й площу.

Половини діагоналей: $8$ і $6$ — це катети прямокутного трикутника;
сторона ромба — гіпотенуза: $a = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$ ;
площа через діагоналі: $S = \dfrac{16 \cdot 12}{2} = 96$ .

Відповідь: сторона $10$ , площа $96$ . Зверни увагу на трійку $(6, 8, 10)$ — вона тут виникає невипадково, задачі часто будують саме на пифагорових трійках.

Квадрат

Квадрат — це водночас прямокутник і ромб: усі сторони рівні й усі кути прямі. Його діагональ виражається через сторону:

$d = a\sqrt{2}.$

Площа: $S = a^2$ ; діагоналі рівні, перпендикулярні й діляться навпіл.

Квадрат — «найдосконаліший»

Квадрат має всі властивості і прямокутника, і ромба одночасно.

Формулу діагоналі не треба вчити окремо: діагональ розрізає квадрат на два прямокутні трикутники з рівними катетами, тобто на два трикутники $45°$ - $45°$ - $90°$ . За теоремою Піфагора $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ , звідси $d = a\sqrt{2}$ .

Зворотний перехід теж корисний: якщо відома діагональ, то $a = \dfrac{d}{\sqrt{2}}$ , а площу зручно рахувати як для ромба — $S = \dfrac{d^2}{2}$ .

Приклад 2 — від діагоналі до площі

Діагональ квадрата дорівнює $8$ . Знайдемо його площу двома способами.

Спосіб 1 — через сторону. $a = \dfrac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ , тоді $S = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$ .

Спосіб 2 — як для ромба. Квадрат — ромб із рівними діагоналями, тому $S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{8 \cdot 8}{2} = 32$ .

Відповідь: $32$ . Другий спосіб коротший — варто його пам'ятати.

Трапеція

Трапеція — чотирикутник, у якого лише одна пара сторін паралельна (основи). Відрізок, що сполучає середини бічних сторін, — середня лінія:

$m = \dfrac{a + b}{2}.$

Площа трапеції:

$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h.$

Порухай основи й висоту:

Не переплутай

У формулі площі трапеції беруть півсуму основ, помножену на висоту, а не суму. Зручно: площа = середня лінія × висота.

Окремо варто знати два особливі види. Рівнобічна трапеція має рівні бічні сторони; у ній кути при кожній основі рівні, а діагоналі рівні між собою. Прямокутна трапеція має бічну сторону, перпендикулярну до основ, — ця сторона і є висотою.

Стандартний прийом для трапеції — провести дві висоти з вершин меншої основи. Вони розрізають фігуру на прямокутник (зі стороною, рівною меншій основі) і два прямокутні трикутники. У рівнобічній трапеції ці трикутники рівні, і кожен відтинає від більшої основи по $\dfrac{a - b}{2}$ .

Приклад 3 — висота рівнобічної трапеції

Основи рівнобічної трапеції дорівнюють $10$ і $4$ , бічна сторона — $5$ . Знайдемо висоту й площу.

Проводимо дві висоти з вершин меншої основи; вони відтинають від більшої основи по $\dfrac{10 - 4}{2} = 3$ ;
у прямокутному трикутнику катет $3$ , гіпотенуза (бічна сторона) $5$ , отже висота $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$ ;
середня лінія: $m = \dfrac{10 + 4}{2} = 7$ ;
площа: $S = m \cdot h = 7 \cdot 4 = 28$ .

Відповідь: висота $4$ , площа $28$ .

Типові помилки

Множать суму основ на висоту, забувши поділити на два. Найнадійніше рахувати через середню лінію: $S = m \cdot h$ .
Плутають бічну сторону трапеції з висотою. Вони збігаються лише в прямокутній трапеції; у решті випадків висоту треба знаходити за теоремою Піфагора.
Ділять на два площу ромба двічі. Формула $S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$ уже містить ділення — брати половини діагоналей у ній не треба.
Використовують $d = a\sqrt{2}$ для будь-якого прямокутника. Ця формула працює лише для квадрата; у прямокутнику $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
Вважають, що середня лінія трапеції дорівнює півсумі бічних сторін. Вона дорівнює півсумі основ.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Числові відповіді — одним числом. Діагональ квадрата пиши як 5*sqrt(2) або 5√2.