НМТ Математика

Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Квадратний тричлен

Квадратне рівняння — найуніверсальніший інструмент шкільної алгебри. До нього зводяться дробові, біквадратні, ірраціональні, показникові й логарифмічні рівняння; на ньому тримаються метод інтервалів і розкладання многочленів на множники. Тому вміння швидко й без помилок розв'язувати квадратне рівняння окупається в кожній наступній темі — а теорема Вієта часто дозволяє зробити це усно.

Означення

Квадратне рівняння — це рівняння виду

ax2+bx+c=0,a≠0.ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0.

Якщо всі три коефіцієнти ненульові — рівняння повне; якщо b=0b = 0 або c=0c = 0 — неповне.

Дискримінант і формула коренів

Кількість коренів визначає дискримінант D=b2−4acD = b^2 - 4ac:

x1,2=−b±D2a.x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.

Знак дискримінанта видно на графіку — це висота параболи відносно осі OxOx:

Приклад 1. Повне рівняння

Розв'яжи 2x2−5x−3=02x^2 - 5x - 3 = 0.

Крок 1. Випиши коефіцієнти: a=2a = 2, b=−5b = -5, c=−3c = -3.

Крок 2. Порахуй дискримінант:

D=b2−4ac=(−5)2−4⋅2⋅(−3)=25+24=49.D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 2\cdot(-3) = 25 + 24 = 49.

Крок 3. D>0D > 0, отже два корені. 49=7\sqrt{49} = 7:

x1,2=5±72⋅2=5±74  ⇒  x1=3,x2=−0,5.x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{2\cdot 2} = \dfrac{5 \pm 7}{4} \;\Rightarrow\; x_1 = 3,\quad x_2 = -0{,}5.

Перевірка за Вієтом: x1+x2=2,5=−bax_1 + x_2 = 2{,}5 = -\dfrac{b}{a}, x1x2=−1,5=cax_1 x_2 = -1{,}5 = \dfrac{c}{a}. Збігається.

Пильнуй за знаками

Найчастіша помилка — загубити мінус у −4ac-4ac. Якщо cc від'ємне, то −4ac-4ac стає додатним і дискримінант зростає. У прикладі вище саме так: −4⋅2⋅(−3)=+24-4\cdot2\cdot(-3) = +24.

Неповні квадратні рівняння

Їх розв'язують без дискримінанта:

  • ax2+bx=0⇒x(ax+b)=0⇒x=0ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax + b) = 0 \Rightarrow x = 0 або x=−bax = -\dfrac{b}{a};
  • ax2+c=0⇒x2=−caax^2 + c = 0 \Rightarrow x^2 = -\dfrac{c}{a} (є корені, якщо права частина ≥0\ge 0).
Приклад 2. Немає вільного члена

Розв'яжи 3x2−12x=03x^2 - 12x = 0.

Виносимо xx за дужки — і не ділимо на нього:

3x(x−4)=0  ⇒  x=0абоx−4=0.3x(x - 4) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0 \quad\text{або}\quad x - 4 = 0.

Відповідь: x1=0x_1 = 0, x2=4x_2 = 4.

Не діли на x

Спокуса скоротити 3x2=12x3x^2 = 12x на xx і дістати x=4x = 4 — і загубити корінь x=0x = 0. Ділити можна лише на те, що напевно не дорівнює нулю. Правильний шлях — винести спільний множник за дужки.

Приклад 3. Немає лінійного члена

Розв'яжи 2x2−18=02x^2 - 18 = 0.

2x2=18  ⇒  x2=9  ⇒  x=±3.2x^2 = 18 \;\Rightarrow\; x^2 = 9 \;\Rightarrow\; x = \pm 3.

Відповідь: x=±3x = \pm 3. Не забувай обидва знаки: x2=9x^2 = 9 дає і 33, і −3-3. А ось 2x2+18=02x^2 + 18 = 0 коренів не має зовсім: x2=−9x^2 = -9 неможливо.

Теорема Вієта

Для зведеного рівняння x2+px+q=0x^2 + px + q = 0 корені пов'язані з коефіцієнтами:

x1+x2=−p,x1⋅x2=q.x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q.

Обери корені — і побач, яке рівняння вони задають:

Навіщо це

Теорема Вієта дозволяє підбирати корені усно та швидко перевіряти відповідь: сума має дорівнювати −p-p, а добуток — qq.

Приклад 4. Підбір усно

Розв'яжи x2−7x+12=0x^2 - 7x + 12 = 0 без дискримінанта.

Тут p=−7p = -7, q=12q = 12. Шукаємо два числа, у яких:

x1+x2=7,x1⋅x2=12.x_1 + x_2 = 7, \qquad x_1 \cdot x_2 = 12.

Перебираємо пари дільників числа 1212: 11 і 1212 (сума 1313), 22 і 66 (сума 88), 33 і 44 (сума 77) — те, що треба.

Відповідь: x1=3x_1 = 3, x2=4x_2 = 4.

Починай саме з добутку: у нього менше варіантів, ніж у суми.

Квадратний тричлен

Якщо x1,x2x_1, x_2 — корені тричлена ax2+bx+cax^2 + bx + c, то його розкладають на множники:

ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2).ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).

Для зведеного тричлена (a=1a = 1): x2+bx+c=(x−x1)(x−x2)x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2).

Приклад 5. Розклад на множники

Розклади x2−x−6x^2 - x - 6 на множники.

Крок 1. Знайди корені. За Вієтом: сума =1= 1, добуток =−6= -6. Підходять 33 і −2-2.

Крок 2. Підстав у формулу, пильнуючи знаки — від'ємний корінь дає плюс у дужці:

x2−x−6=(x−3)(x−(−2))=(x−3)(x+2).x^2 - x - 6 = (x - 3)\bigl(x - (-2)\bigr) = (x - 3)(x + 2).

Перевірка: розкрий дужки — x2+2x−3x−6=x2−x−6x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6. Збігається.

Приклад 6 — коли дискримінант нульовий

Розв'яжемо x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0.

  1. Коефіцієнти: a=1a = 1, b=−6b = -6, c=9c = 9;
  2. дискримінант: D=36−36=0D = 36 - 36 = 0;
  3. D=0D = 0 означає один корінь: x=−b2a=62=3x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{6}{2} = 3.

Відповідь: x=3x = 3. Зверни увагу, що лівий вираз — це повний квадрат: x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2. Саме тому корінь «подвійний», а парабола лише дотикається до осі OxOx, не перетинаючи її.

Типові помилки

  • Гублять знак у −4ac-4ac. Якщо cc від'ємне, доданок −4ac-4ac стає додатним.
  • Ділять рівняння на xx і втрачають корінь x=0x = 0.
  • Забувають другий знак у x2=9x^2 = 9: коренів два, 33 і −3-3.
  • Застосовують теорему Вієта до незведеного рівняння. Формули x1+x2=−px_1+x_2 = -p і x1x2=qx_1x_2 = q справедливі лише при a=1a = 1; інакше треба ділити на aa.
  • Плутають знаки при розкладанні на множники. Корінь −2-2 дає дужку (x+2)(x + 2).
  • Не перевіряють відповідь. Підстановка коренів у Вієта займає кілька секунд і ловить майже будь-яку помилку в обчисленні дискримінанта.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Корені вводь через крапку з комою: -2; 5 (порядок не важливий). Для розкладу на множники — у вигляді (x-2)(x+3); перевірка приймає й розкриту форму.

Завдання формату НМТ

Завдання в тому вигляді, як їх дають на національному мультипредметному тесті: вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), установлення відповідності та коротка відповідь десятковим дробом. Там, де є позначка «Прототип», задачу побудовано за типом реального завдання НМТ минулих років; числа в умові щоразу нові.

  • Добуток або сума коренів

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2022 · №4

  • Корені квадратного рівняння

    Вибір А–Д

  • Відповідність: рівняння ↔ корені

    Відповідність

  • Сума квадратів коренів

    Коротка відповідь

Приклади розв’язання завдань НМТ

Так розв’язують завдання формату НМТ із цієї теми — по одному прикладу на кожен формат: вибір відповіді, відповідність, коротка відповідь. У розділі «Завдання формату НМТ» числа щоразу нові, а тут кожен крок розписано.

  1. 1Добуток або сума коренів
    Вибір А–Д
    Прототип: НМТ 2022 · №4
    Обчисліть добуток коренів рівняння x2−3x−70=0. x^2 - 3x - 70 = 0.
    • А-7
    • Б3
    • В-70
    • Г70
    • Д-3
    За теоремою Вієта для x2+px+q=0 x^2+px+q=0: x1+x2=−p, x1x2=q. x_1+x_2 = -p,\ x_1x_2 = q.
    Показати розв’язання
    1. 1
      x1x2=−70 (x1=−7, x2=10)x_1 x_2 = -70\ (x_1 = -7,\ x_2 = 10)
    Відповідь: В) −70 -70
  2. 2Відповідність: рівняння ↔ корені
    Відповідність
    Установіть відповідність між рівнянням (1–3) та твердженням про його корені (А–Д).
    Амає корені різних знаків
    Бкоренів немає
    Вмає два від’ємні корені
    Гмає один корінь
    Дмає два додатні корені
    • 1.x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0
    • 2.x2+x−42=0x^2 + x - 42 = 0
    • 3.x2+9x+20=0x^2 + 9x + 20 = 0
    Знак дискримінанта вказує на кількість коренів, а за теоремою Вієта знаки коренів видно з їх добутку й суми.
    Показати розв’язання
    1. 1
      1 — Г: (x−1)2=0, x=1 (x - 1)^2 = 0,\ x = 1
    2. 2
      2 — А: x1x2=−42<0 x_1 x_2 = -42 < 0
    3. 3
      3 — В: x1=−5, x2=−4 x_1 = -5,\ x_2 = -4
    Відповідь:
    • 1 — Г: x2−2x+1=0  →   x^2 - 2x + 1 = 0 \;\to\; має один корінь
    • 2 — А: x2+x−42=0  →   x^2 + x - 42 = 0 \;\to\; має корені різних знаків
    • 3 — В: x2+9x+20=0  →   x^2 + 9x + 20 = 0 \;\to\; має два від’ємні корені
  3. 3Сума квадратів коренів
    Коротка відповідь
    Не розв’язуючи рівняння x2+9x+18=0 x^2 + 9x + 18 = 0, знайдіть x12+x22 x_1^2 + x_2^2, де x1,x2 x_1, x_2 — його корені.
    x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2.x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2.
    Показати розв’язання
    1. 1
      x1+x2=−9, x1x2=18x_1+x_2 = -9,\ x_1x_2 = 18
    2. 2
      (−9)2−2⋅18=45(-9)^2 - 2\cdot18 = 45
    Відповідь: 4545