Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Квадратний тричлен

Квадратне рівняння — найуніверсальніший інструмент шкільної алгебри. До нього зводяться дробові, біквадратні, ірраціональні, показникові й логарифмічні рівняння; на ньому тримаються метод інтервалів і розкладання многочленів на множники. Тому вміння швидко й без помилок розв'язувати квадратне рівняння окупається в кожній наступній темі — а теорема Вієта часто дозволяє зробити це усно.

Означення

Квадратне рівняння — це рівняння виду

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0.$

Якщо всі три коефіцієнти ненульові — рівняння повне; якщо $b = 0$ або $c = 0$ — неповне.

Дискримінант і формула коренів

Кількість коренів визначає дискримінант $D = b^2 - 4ac$ :

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$

Знак дискримінанта видно на графіку — це висота параболи відносно осі $Ox$ :

Приклад 1. Повне рівняння

Розв'яжи $2x^2 - 5x - 3 = 0$ .

Крок 1. Випиши коефіцієнти: $a = 2$ , $b = -5$ , $c = -3$ .

Крок 2. Порахуй дискримінант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 2\cdot(-3) = 25 + 24 = 49.$

Крок 3. $D > 0$ , отже два корені. $\sqrt{49} = 7$ :

$x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{2\cdot 2} = \dfrac{5 \pm 7}{4} \;\Rightarrow\; x_1 = 3,\quad x_2 = -0{,}5.$

Перевірка за Вієтом: $x_1 + x_2 = 2{,}5 = -\dfrac{b}{a}$ , $x_1 x_2 = -1{,}5 = \dfrac{c}{a}$ . Збігається.

Пильнуй за знаками

Найчастіша помилка — загубити мінус у $-4ac$ . Якщо $c$ від'ємне, то $-4ac$ стає додатним і дискримінант зростає. У прикладі вище саме так: $-4\cdot2\cdot(-3) = +24$ .

Неповні квадратні рівняння

Їх розв'язують без дискримінанта:

$ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax + b) = 0 \Rightarrow x = 0$ або $x = -\dfrac{b}{a}$ ;
$ax^2 + c = 0 \Rightarrow x^2 = -\dfrac{c}{a}$ (є корені, якщо права частина $\ge 0$ ).

Приклад 2. Немає вільного члена

Розв'яжи $3x^2 - 12x = 0$ .

Виносимо $x$ за дужки — і не ділимо на нього:

$3x(x - 4) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0 \quad\text{або}\quad x - 4 = 0.$

Відповідь: $x_1 = 0$ , $x_2 = 4$ .

Не діли на x

Спокуса скоротити $3x^2 = 12x$ на $x$ і дістати $x = 4$ — і загубити корінь $x = 0$ . Ділити можна лише на те, що напевно не дорівнює нулю. Правильний шлях — винести спільний множник за дужки.

Приклад 3. Немає лінійного члена

Розв'яжи $2x^2 - 18 = 0$ .

$2x^2 = 18 \;\Rightarrow\; x^2 = 9 \;\Rightarrow\; x = \pm 3.$

Відповідь: $x = \pm 3$ . Не забувай обидва знаки: $x^2 = 9$ дає і $3$ , і $-3$ . А ось $2x^2 + 18 = 0$ коренів не має зовсім: $x^2 = -9$ неможливо.

Теорема Вієта

Для зведеного рівняння $x^2 + px + q = 0$ корені пов'язані з коефіцієнтами:

$x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q.$

Обери корені — і побач, яке рівняння вони задають:

Навіщо це

Теорема Вієта дозволяє підбирати корені усно та швидко перевіряти відповідь: сума має дорівнювати $-p$ , а добуток — $q$ .

Приклад 4. Підбір усно

Розв'яжи $x^2 - 7x + 12 = 0$ без дискримінанта.

Тут $p = -7$ , $q = 12$ . Шукаємо два числа, у яких:

$x_1 + x_2 = 7, \qquad x_1 \cdot x_2 = 12.$

Перебираємо пари дільників числа $12$ : $1$ і $12$ (сума $13$ ), $2$ і $6$ (сума $8$ ), $3$ і $4$ (сума $7$ ) — те, що треба.

Відповідь: $x_1 = 3$ , $x_2 = 4$ .

Починай саме з добутку: у нього менше варіантів, ніж у суми.

Квадратний тричлен

Якщо $x_1, x_2$ — корені тричлена $ax^2 + bx + c$ , то його розкладають на множники:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).$

Для зведеного тричлена ( $a = 1$ ): $x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)$ .

Приклад 5. Розклад на множники

Розклади $x^2 - x - 6$ на множники.

Крок 1. Знайди корені. За Вієтом: сума $= 1$ , добуток $= -6$ . Підходять $3$ і $-2$ .

Крок 2. Підстав у формулу, пильнуючи знаки — від'ємний корінь дає плюс у дужці:

$x^2 - x - 6 = (x - 3)\bigl(x - (-2)\bigr) = (x - 3)(x + 2).$

Перевірка: розкрий дужки — $x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$ . Збігається.

Приклад 6 — коли дискримінант нульовий

Розв'яжемо $x^2 - 6x + 9 = 0$ .

Коефіцієнти: $a = 1$ , $b = -6$ , $c = 9$ ;
дискримінант: $D = 36 - 36 = 0$ ;
$D = 0$ означає один корінь: $x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{6}{2} = 3$ .

Відповідь: $x = 3$ . Зверни увагу, що лівий вираз — це повний квадрат: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ . Саме тому корінь «подвійний», а парабола лише дотикається до осі $Ox$ , не перетинаючи її.

Типові помилки

Гублять знак у $-4ac$ . Якщо $c$ від'ємне, доданок $-4ac$ стає додатним.
Ділять рівняння на $x$ і втрачають корінь $x = 0$ .
Забувають другий знак у $x^2 = 9$ : коренів два, $3$ і $-3$ .
Застосовують теорему Вієта до незведеного рівняння. Формули $x_1+x_2 = -p$ і $x_1x_2 = q$ справедливі лише при $a = 1$ ; інакше треба ділити на $a$ .
Плутають знаки при розкладанні на множники. Корінь $-2$ дає дужку $(x + 2)$ .
Не перевіряють відповідь. Підстановка коренів у Вієта займає кілька секунд і ловить майже будь-яку помилку в обчисленні дискримінанта.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Корені вводь через крапку з комою: -2; 5 (порядок не важливий). Для розкладу на множники — у вигляді (x-2)(x+3); перевірка приймає й розкриту форму.