Тотожні перетворення тригонометричних виразів

Формул у тригонометрії багато, і вчити їх усі списком — марна праця. Насправді майже все виводиться з двох речей: основної тотожності $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ і означення тангенса. Тому завдання цієї теми не в тому, щоб пригадати потрібну формулу, а в тому, щоб побачити, яке перетворення наближає вираз до відповіді.

Основна тригонометрична тотожність

Для будь-якого кута $\alpha$:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.$

Це — теорема Піфагора для прямокутного трикутника з катетами $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ і гіпотенузою (радіусом одиничного кола) $1$:

З неї виражають одну функцію через іншу:

$\cos\alpha = \pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}, \qquad \sin\alpha = \pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}.$

Основну тотожність корисно вміти «читати» в обидва боки. Зліва направо вона згортає $\sin^2 + \cos^2$ в одиницю. Справа наліво — дозволяє замінити одиницю на $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$, і це часто рятує в задачах на спрощення: наприклад, $1 - \cos^2\alpha$ одразу стає $\sin^2\alpha$.

Тангенс через синус і косинус

$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\ (\cos\alpha \ne 0), \qquad \cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$

Також корисно: $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$.

Остання формула — не окремий факт, а та сама основна тотожність, поділена на $\cos^2\alpha$. Перевір: $\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \dfrac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$, тобто $\tan^2\alpha + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$. Це типовий приклад того, як із однієї тотожності виростають усі інші.

Універсальна порада для спрощення виразів: якщо не бачиш, що робити, переведи все в синуси й косинуси. Тангенси й котангенси майже завжди лише заважають бачити структуру.

Формули подвійного кута

Синус подвійного кута — одна формула:

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha.$

Косинус подвійного кута має три рівносильні записи — обирай той, де є потрібні дані:

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \qquad \text{(коли відомий лише } \sin\alpha)$

$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \qquad \text{(коли відомий лише } \cos\alpha)$

Три записи косинуса — це один і той самий вираз, у якому основну тотожність застосовано по-різному. Наприклад, у першому записі замінюємо $\cos^2\alpha$ на $1 - \sin^2\alpha$ і дістаємо другий. Тому окремо їх заучувати не треба — досить знати перший і вміти переходити.

Приклад

Нехай $\sin\alpha=\tfrac{3}{5}$, $\cos\alpha=\tfrac{4}{5}$. Тоді:

$\sin 2\alpha = 2\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25};$

$\cos 2\alpha = \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{16}{25}-\dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}.$

Типові помилки

• Виносять множник з-під знака функції. $\sin 2\alpha \ne 2\sin\alpha$, $\cos(\alpha + \beta) \ne \cos\alpha + \cos\beta$.
• Забувають знак при добуванні кореня з основної тотожності — його визначає чверть.
• Плутають $\sin^2\alpha$ і $\sin\alpha^2$. Перше — це $(\sin\alpha)^2$, друге — синус від $\alpha^2$; на НМТ мають на увазі перше.
• Беруть не ту форму косинуса подвійного кута й доводиться робити зайвий крок.
• Не переводять усе в синуси й косинуси, застрягаючи на виразі з тангенсами.

Перевір себе