Тотожні перетворення тригонометричних виразів

Формул у тригонометрії багато, і вчити їх усі списком — марна праця. Насправді майже все виводиться з двох речей: основної тотожності $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ і означення тангенса. Тому завдання цієї теми не в тому, щоб пригадати потрібну формулу, а в тому, щоб побачити, яке перетворення наближає вираз до відповіді.

Основна тригонометрична тотожність

Для будь-якого кута $\alpha$ :

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.$

Це — теорема Піфагора для прямокутного трикутника з катетами $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ і гіпотенузою (радіусом одиничного кола) $1$ :

З неї виражають одну функцію через іншу:

$\cos\alpha = \pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}, \qquad \sin\alpha = \pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}.$

Не забудь про знак

Корінь дає модуль, тому знак $\pm$ обирають за чвертю, у якій лежить кут. Наприклад, якщо $\sin\alpha=\tfrac{3}{5}$ і $\alpha$ у II чверті, то $\cos\alpha=-\tfrac{4}{5}$ (у II чверті косинус від'ємний).

Основну тотожність корисно вміти «читати» в обидва боки. Зліва направо вона згортає $\sin^2 + \cos^2$ в одиницю. Справа наліво — дозволяє замінити одиницю на $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ , і це часто рятує в задачах на спрощення: наприклад, $1 - \cos^2\alpha$ одразу стає $\sin^2\alpha$ .

Приклад 1 — знайти косинус за синусом

Відомо, що $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$ , причому $\alpha$ лежить у II чверті. Знайдемо $\cos\alpha$ і $\tan\alpha$ .

З основної тотожності: $\cos^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2 = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$ ;
добуваємо корінь: $|\cos\alpha| = \dfrac{12}{13}$ ;
у II чверті косинус від'ємний, тому $\cos\alpha = -\dfrac{12}{13}$ ;
тангенс: $\tan\alpha = \dfrac{5/13}{-12/13} = -\dfrac{5}{12}$ .

Відповідь: $\cos\alpha = -\dfrac{12}{13}$ , $\tan\alpha = -\dfrac{5}{12}$ . Трійка $(5, 12, 13)$ тут не випадкова — такі «зручні» набори й беруть для задач.

Тангенс через синус і косинус

$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\ (\cos\alpha \ne 0), \qquad \cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$

Також корисно: $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ .

Остання формула — не окремий факт, а та сама основна тотожність, поділена на $\cos^2\alpha$ . Перевір: $\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \dfrac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ , тобто $\tan^2\alpha + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ . Це типовий приклад того, як із однієї тотожності виростають усі інші.

Універсальна порада для спрощення виразів: якщо не бачиш, що робити, переведи все в синуси й косинуси. Тангенси й котангенси майже завжди лише заважають бачити структуру.

Приклад 2 — спрощення виразу

Спростимо $\dfrac{1 - \cos^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha}$ .

У чисельнику застосовуємо основну тотожність: $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$ ;
дістаємо $\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$ ;
скорочуємо на $\sin\alpha$ : $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ;
це за означенням тангенс.

Відповідь: $\tan\alpha$ .

Формули подвійного кута

Синус подвійного кута — одна формула:

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha.$

Косинус подвійного кута має три рівносильні записи — обирай той, де є потрібні дані:

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \qquad \text{(коли відомий лише } \sin\alpha)$

$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \qquad \text{(коли відомий лише } \cos\alpha)$

Три записи косинуса — це один і той самий вираз, у якому основну тотожність застосовано по-різному. Наприклад, у першому записі замінюємо $\cos^2\alpha$ на $1 - \sin^2\alpha$ і дістаємо другий. Тому окремо їх заучувати не треба — досить знати перший і вміти переходити.

Приклад

Нехай $\sin\alpha=\tfrac{3}{5}$ , $\cos\alpha=\tfrac{4}{5}$ . Тоді:

$\sin 2\alpha = 2\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25};$

$\cos 2\alpha = \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{16}{25}-\dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}.$

Яку формулу для косинуса брати

Дано лише $\sin\alpha$ → бери $1 - 2\sin^2\alpha$ . Дано лише $\cos\alpha$ → бери $2\cos^2\alpha - 1$ . Дано обидва → найпростіша $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ .

Подвійний кут — не подвоєна функція

$\sin 2\alpha \ne 2\sin\alpha$ . Перевірка на числах: $\sin 60° = \dfrac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}87$ , а $2\sin 30° = 2 \cdot 0{,}5 = 1$ — значення різні. Аргумент функції не можна «виносити» як множник.

Типові помилки

Виносять множник з-під знака функції. $\sin 2\alpha \ne 2\sin\alpha$ , $\cos(\alpha + \beta) \ne \cos\alpha + \cos\beta$ .
Забувають знак при добуванні кореня з основної тотожності — його визначає чверть.
Плутають $\sin^2\alpha$ і $\sin\alpha^2$ . Перше — це $(\sin\alpha)^2$ , друге — синус від $\alpha^2$ ; на НМТ мають на увазі перше.
Беруть не ту форму косинуса подвійного кута й доводиться робити зайвий крок.
Не переводять усе в синуси й косинуси, застрягаючи на виразі з тангенсами.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Відповідь-дріб вводь як 3/4 або -3/4 (можна й десятковим). Перевірка порівнює чисельно.