НМТ Математика

Геометричні переміщення

Геометричні переміщення відповідають на питання, що означає «дві фігури однакові». Інтуїтивно зрозуміло, що трикутник не змінюється, якщо його зсунути, повернути чи відобразити в дзеркалі, — і саме це формалізують рухи. На НМТ тема майже завжди подана в координатах: дано точку й перетворення, треба назвати координати образу. Тому головне тут — упевнено пам'ятати чотири правила заміни координат.

Рух і рівність фігур

Геометричне переміщення (рух) — перетворення площини, що зберігає відстані між точками. Дві фігури називають рівними, якщо одну можна сумістити з іншою рухом. Основні види рухів: центральна й осьова симетрія, паралельне перенесення, поворот.

Порухай точку й перемикай перетворення:

Оскільки рух зберігає відстані, він автоматично зберігає й усе, що з них випливає: кути, периметри, площі, паралельність. Тому образ квадрата — завжди квадрат такого самого розміру, а не просто «схожа фігура».

Центральна симетрія

Симетрія відносно точки OO (центра) переводить точку AA у таку A′A', що OO — середина відрізка AA′AA'. Відносно початку координат:

(x; y)→(−x; −y).(x;\,y) \to (-x;\,-y).

Центральна симетрія — це те саме, що поворот на 180°180° навколо того самого центра. Фігуру, яка переходить сама в себе за такої симетрії, називають центрально-симетричною: такими є коло, квадрат, ромб, паралелограм і правильний шестикутник — але не рівносторонній трикутник.

Осьова симетрія

Симетрія відносно прямої (осі) — відбиття, як у дзеркалі. Відносно координатних осей:

відносно Ox: (x; y)→(x; −y);відносно Oy: (x; y)→(−x; y).\text{відносно } Ox:\ (x;\,y) \to (x;\,-y); \qquad \text{відносно } Oy:\ (x;\,y) \to (-x;\,y).

Логіка запам'ятовування проста: та координата, що названа в осі, лишається без змін. Відображаючи відносно OxOx, ми рухаємо точку вгору-вниз, тому змінюється yy; відносно OyOy — вліво-вправо, тому змінюється xx.

Приклад 1 — три образи однієї точки

Дано точку A(3; −5)A(3;\,-5). Знайдемо її образи при симетрії відносно OxOx, відносно OyOy і відносно початку координат.

  1. Відносно OxOx — змінюємо знак yy: (3; 5)(3;\,5);
  2. відносно OyOy — змінюємо знак xx: (−3; −5)(-3;\,-5);
  3. відносно початку координат — змінюємо обидва знаки: (−3; 5)(-3;\,5).

Відповідь: (3; 5)(3;\,5), (−3; −5)(-3;\,-5), (−3; 5)(-3;\,5).

Паралельне перенесення

Паралельне перенесення на вектор a⃗(ax; ay)\vec{a}(a_x;\,a_y) зсуває кожну точку на цей вектор:

(x; y)→(x+ax; y+ay).(x;\,y) \to (x + a_x;\,y + a_y).

Це найпростіший рух: координати просто додаються. Важливо стежити за знаками координат вектора — перенесення на a⃗(−3; 2)\vec{a}(-3;\,2) зсуває фігуру вліво й угору.

Приклад 2 — перенесення

Точку B(−2; 4)B(-2;\,4) перенесли на вектор a⃗(5; −7)\vec{a}(5;\,-7). Знайдемо образ.

  1. Додаємо координати: x′=−2+5=3x' = -2 + 5 = 3;
  2. y′=4+(−7)=−3y' = 4 + (-7) = -3.

Відповідь: B′(3; −3)B'(3;\,-3).

Поворот

Поворот навколо точки на кут φ\varphi обертає фігуру. Поворот на 90°90° навколо початку координат:

проти годинникової: (x; y)→(−y; x);за годинниковою: (x; y)→(y; −x).\text{проти годинникової:}\ (x;\,y) \to (-y;\,x); \qquad \text{за годинниковою:}\ (x;\,y) \to (y;\,-x).

Правило легко відновити, якщо забув: координати міняються місцями, і в однієї з них змінюється знак. Яка саме змінює знак — перевіряй на контрольній точці (1; 0)(1;\,0). Проти годинникової стрілки вона має перейти в (0; 1)(0;\,1), тобто на вісь OyOy угору: підставивши у формулу (x; y)→(−y; x)(x;\,y) \to (-y;\,x), дістаємо (0; 1)(0;\,1) ✅.

Приклад 3 — поворот на 90°

Повернемо точку C(2; 5)C(2;\,5) на 90°90° проти годинникової стрілки навколо початку координат.

  1. Застосовуємо правило (x; y)→(−y; x)(x;\,y) \to (-y;\,x);
  2. дістаємо (−5; 2)(-5;\,2).

Перевірка: відстань до початку координат має зберегтися. 22+52=29\sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29} і (−5)2+22=29\sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{29} ✅ — рух зберігає відстані.

Рухи зберігають форму й розмір

Усі ці перетворення — рухи: вони зберігають довжини, кути та площі. Образ фігури завжди рівний самій фігурі (на відміну від подібності, де розмір змінюється).

Типові помилки

  • Плутають осі при осьовій симетрії. Незмінною лишається координата, однойменна з віссю: відносно OxOx зберігається xx.
  • Змінюють лише одну координату при центральній симетрії. Тут змінюють знак обидві.
  • Віднімають координати вектора замість додавання при паралельному перенесенні.
  • Плутають напрям повороту. Проти годинникової стрілки — це «додатний» напрям; перевіряй на точці (1; 0)(1;\,0).
  • Вважають, що рух може змінити розміри фігури. Це вже подібність, а не рух.

Перевір себе

Розібрані приклади

Так виглядають задачі цієї теми в тренажері. Тут вони розібрані повністю — у самому тренажері числа в умові щоразу нові, а розв’язання відкривається після вашої відповіді.

  1. Приклад 1. Центральна симетрія

    Знайдіть образ точки (5;−4) (5; -4) за симетрії відносно початку координат.
    • А)(-5; -4)
    • Б)(5; -4)
    • В)(5; 4)
    • Г)(-5; 4)

    Відповідь: (-5; 4)

    Розв'язання: (5;−4)→(−5;4)(5; -4) \to (-5; 4)

  2. Приклад 2. Осьова симетрія

    Знайдіть образ точки (−6;3) (-6; 3) за симетрії відносно осі Oy. Oy.
    • А)(-6; 3)
    • Б)(6; -3)
    • В)(6; 3)
    • Г)(-6; -3)

    Відповідь: (6; 3)

    Розв'язання: (−6;3)→(6;3)(-6; 3) \to (6; 3)

  3. Приклад 3. Паралельне перенесення

    Точку (−4;−2) (-4; -2) перенесли на вектор a⃗(−1;5). \vec{a}(-1; 5). Знайдіть образ.
    • А)(-3; -7)
    • Б)(1; -3)
    • В)(-5; -7)
    • Г)(-5; 3)

    Відповідь: (-5; 3)

    Розв'язання: (−4+−1;−2+5)=(−5;3)(-4 + -1; -2 + 5) = (-5; 3)