Геометричні переміщення

Геометричні переміщення відповідають на питання, що означає «дві фігури однакові». Інтуїтивно зрозуміло, що трикутник не змінюється, якщо його зсунути, повернути чи відобразити в дзеркалі, — і саме це формалізують рухи. На НМТ тема майже завжди подана в координатах: дано точку й перетворення, треба назвати координати образу. Тому головне тут — упевнено пам'ятати чотири правила заміни координат.

Рух і рівність фігур

Геометричне переміщення (рух) — перетворення площини, що зберігає відстані між точками. Дві фігури називають рівними, якщо одну можна сумістити з іншою рухом. Основні види рухів: центральна й осьова симетрія, паралельне перенесення, поворот.

Порухай точку й перемикай перетворення:

Оскільки рух зберігає відстані, він автоматично зберігає й усе, що з них випливає: кути, периметри, площі, паралельність. Тому образ квадрата — завжди квадрат такого самого розміру, а не просто «схожа фігура».

Центральна симетрія

Симетрія відносно точки $O$ (центра) переводить точку $A$ у таку $A'$, що $O$ — середина відрізка $AA'$. Відносно початку координат:

$(x;\,y) \to (-x;\,-y).$

Центральна симетрія — це те саме, що поворот на $180°$ навколо того самого центра. Фігуру, яка переходить сама в себе за такої симетрії, називають центрально-симетричною: такими є коло, квадрат, ромб, паралелограм і правильний шестикутник — але не рівносторонній трикутник.

Осьова симетрія

Симетрія відносно прямої (осі) — відбиття, як у дзеркалі. Відносно координатних осей:

$\text{відносно } Ox:\ (x;\,y) \to (x;\,-y); \qquad \text{відносно } Oy:\ (x;\,y) \to (-x;\,y).$

Логіка запам'ятовування проста: та координата, що названа в осі, лишається без змін. Відображаючи відносно $Ox$, ми рухаємо точку вгору-вниз, тому змінюється $y$; відносно $Oy$ — вліво-вправо, тому змінюється $x$.

Паралельне перенесення

Паралельне перенесення на вектор $\vec{a}(a_x;\,a_y)$ зсуває кожну точку на цей вектор:

$(x;\,y) \to (x + a_x;\,y + a_y).$

Це найпростіший рух: координати просто додаються. Важливо стежити за знаками координат вектора — перенесення на $\vec{a}(-3;\,2)$ зсуває фігуру вліво й угору.

Поворот

Поворот навколо точки на кут $\varphi$ обертає фігуру. Поворот на $90°$ навколо початку координат:

$\text{проти годинникової:}\ (x;\,y) \to (-y;\,x); \qquad \text{за годинниковою:}\ (x;\,y) \to (y;\,-x).$

Правило легко відновити, якщо забув: координати міняються місцями, і в однієї з них змінюється знак. Яка саме змінює знак — перевіряй на контрольній точці $(1;\,0)$. Проти годинникової стрілки вона має перейти в $(0;\,1)$, тобто на вісь $Oy$ угору: підставивши у формулу $(x;\,y) \to (-y;\,x)$, дістаємо $(0;\,1)$ ✅.

Типові помилки

• Плутають осі при осьовій симетрії. Незмінною лишається координата, однойменна з віссю: відносно $Ox$ зберігається $x$.
• Змінюють лише одну координату при центральній симетрії. Тут змінюють знак обидві.
• Віднімають координати вектора замість додавання при паралельному перенесенні.
• Плутають напрям повороту. Проти годинникової стрілки — це «додатний» напрям; перевіряй на точці $(1;\,0)$.
• Вважають, що рух може змінити розміри фігури. Це вже подібність, а не рух.

Перевір себе