Похідна: означення, таблиця, правила

Похідна вимірює швидкість зміни функції. Для графіка це нахил дотичної, для руху — миттєва швидкість, для будь-якого процесу — темп його зростання чи спадання. На НМТ похідну майже завжди рахують за таблицею й правилами, тому технічна вправність тут важливіша за розуміння границь. Але саме розуміння геометричного змісту дозволяє перевіряти відповідь і не робити грубих помилок.

Означення

Похідною функції $f$ у точці $x$ називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу, коли той прямує до нуля:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}.$

Процес знаходження похідної називають диференціюванням.

Дріб під границею — це середня швидкість зміни на відрізку завдовжки $\Delta x$. Спрямовуючи $\Delta x$ до нуля, ми переходимо від середньої швидкості до миттєвої. Ця сама конструкція геометрично перетворює січну на дотичну.

Геометричний зміст

Похідна $f'(x_0)$ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці $x_0$ — тобто тангенсу кута нахилу дотичної. Рухай точку дотику й стеж за нахилом:

Звідси випливає надійна перевірка результату: там, де функція зростає, похідна додатна, де спадає — від'ємна, а в точках «вершин» дорівнює нулю. Якщо для параболи $y = x^2$ ти дістав від'ємну похідну при $x > 0$, десь є помилка.

Таблиця похідних

Похідні елементарних функцій варто знати напам'ять. Скористайся режимом самоперевірки:

Правила диференціювання

Нехай $u = u(x)$, $v = v(x)$ — функції, $k$ — стала. Кожне правило — окремим рядком:

Найчастіше на НМТ трапляються степенева формула й правила для суми та сталого множника. Наприклад:

$\left(3x^4 - 5x^2 + 7\right)' = 3\cdot4x^3 - 5\cdot2x + 0 = 12x^3 - 10x.$

Зверни увагу на важливу асиметрію: сума й різниця диференціюються почленно, а добуток і частка — ні. Записи $(uv)' = u'v'$ чи $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v'}$ — груба помилка. Перевір на числах: $(x \cdot x)' = (x^2)' = 2x$, тоді як $x' \cdot x' = 1$.

Рівняння дотичної

Дотична до графіка $y=f(x)$ у точці з абсцисою $x_0$ має рівняння:

$y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0).$

Її кутовий коефіцієнт дорівнює $f'(x_0)$. Наприклад, для $f(x)=x^2$ у точці $x_0=3$: $f'(3)=6$, $f(3)=9$, тож дотична — $y = 9 + 6(x-3) = 6x - 9$.

Порядок дій тут завжди однаковий: обчислити $f(x_0)$, обчислити $f'(x_0)$, підставити у формулу. Найчастіша помилка — підставити у формулу саму функцію $f(x)$ замість числа $f(x_0)$.

Типові помилки

• Диференціюють добуток почленно. $(uv)' \ne u'v'$.
• Забувають, що похідна сталої дорівнює нулю — або, навпаки, «диференціюють» сталу в одиницю.
• Помиляються в степеневій формулі. $(x^n)' = nx^{n-1}$: показник стає множником і зменшується на одиницю.
• Плутають $f'(x)$ і $f'(x_0)$. Перше — функція, друге — число.
• Втрачають мінус у правилі частки. У чисельнику саме $u'v - uv'$, і порядок доданків тут важливий.

Перевір себе