Прикладні (сюжетні) задачі

Як розв'язувати текстову задачу

Найважче в сюжетній задачі — не обчислення, а перехід від слів до формули. Саме тут губиться більшість балів: арифметика проста, а от що саме позначити буквою — не завжди очевидно.

Схема завжди та сама:

1. Познач невідоме буквою — те, що питають (напр. $n$ — кількість, $t$ — час).
2. Склади рівняння: перечитай умову й запиши кожне речення як рівність.
3. Розв'яжи й перевір на здоровий глузд: кількість людей не буває дробовою, час — від'ємним, а знижка — більшою за 100%.

Другий крок вартий окремої уваги. Найнадійніший прийом — читати умову реченнями й одразу перекладати кожне з них на мову алгебри. «Було вдвічі більше» — це $= 2\cdot$, «на 5 менше» — це $-5$, «разом» — це знак плюс, «у скільки разів» — це ділення. Коли всі речення перекладено, рівняння вже складене.

Корисно також одразу виписати одиниці. Якщо в задачі швидкість у км/год, а час у хвилинах, їх треба звести до однакових одиниць ще до підстановки — інакше відповідь буде неправильною при бездоганній алгебрі.

Суміші та рецепти

Тут усе тримається на понятті порції — незмінного набору складників. Якщо відоме співвідношення на одну порцію, то кількість порцій = загальна кількість поділити на суму складників порції.

Середні величини

Середнє арифметичне кількох груп із різними цінами:

$\bar{p} = \dfrac{n_1 p_1 + n_2 p_2 + \ldots}{n_1 + n_2 + \ldots}.$

Задачі часто просять найменше значення невідомого, за якого середнє переходить поріг — тоді розв'язують нерівність і беруть найближче ціле.

Рух і робота

$S = v\cdot t \quad (\text{шлях}), \qquad A = P\cdot t \quad (\text{робота}).$

При русі назустріч швидкості додаються: час до зустрічі $t = \dfrac{S}{v_1 + v_2}$.

Якщо об'єкти рухаються в один бік (навздогін), швидкості, навпаки, віднімають: відстань між ними скорочується зі швидкістю $v_1 - v_2$. Той самий принцип працює в задачах про рух річкою: за течією швидкість човна дорівнює $v + u$, проти течії — $v - u$, де $u$ — швидкість течії.

Спільна робота

Задачі про роботу влаштовані так само, як про рух, тільки замість швидкості — продуктивність. Усю роботу зручно взяти за одиницю.

Зверни увагу на структуру такої задачі: додавати можна продуктивності, а не час. Поширена помилка — усереднити $6$ і $3$ години й дати відповідь $4{,}5$ год. Але спільна робота завжди швидша за роботу найшвидшого з учасників, тому відповідь обов'язково менша за $3$ год — це надійна перевірка.

Типові помилки

• Додають час замість продуктивностей у задачах про спільну роботу.
• Усереднюють середні без урахування розміру груп.
• Не зводять одиниці. Хвилини й години, грами й кілограми треба узгодити до підстановки.
• Забувають відповісти на поставлене питання. Часто знаходять проміжну величину й записують у відповідь її.
• Не перевіряють відповідь на здоровий глузд. Від'ємний час, дробова кількість людей чи швидкість течії, більша за швидкість човна, — ознаки помилки.

Перевір себе