Прикладні (сюжетні) задачі

Як розв'язувати текстову задачу

Найважче в сюжетній задачі — не обчислення, а перехід від слів до формули. Саме тут губиться більшість балів: арифметика проста, а от що саме позначити буквою — не завжди очевидно.

Схема завжди та сама:

Познач невідоме буквою — те, що питають (напр. $n$ — кількість, $t$ — час).
Склади рівняння: перечитай умову й запиши кожне речення як рівність.
Розв'яжи й перевір на здоровий глузд: кількість людей не буває дробовою, час — від'ємним, а знижка — більшою за 100%.

Порада, що економить час

Якщо не знаєш, що позначити буквою, — постав $x$ саме на те, про що питають. Тоді не доведеться наприкінці робити зайвий крок «а тепер знайдемо шукане».

Другий крок вартий окремої уваги. Найнадійніший прийом — читати умову реченнями й одразу перекладати кожне з них на мову алгебри. «Було вдвічі більше» — це $= 2\cdot$ , «на 5 менше» — це $-5$ , «разом» — це знак плюс, «у скільки разів» — це ділення. Коли всі речення перекладено, рівняння вже складене.

Корисно також одразу виписати одиниці. Якщо в задачі швидкість у км/год, а час у хвилинах, їх треба звести до однакових одиниць ще до підстановки — інакше відповідь буде неправильною при бездоганній алгебрі.

Суміші та рецепти

Тут усе тримається на понятті порції — незмінного набору складників. Якщо відоме співвідношення на одну порцію, то кількість порцій = загальна кількість поділити на суму складників порції.

Приклад 1 — суміш за рецептом

Для розчину змішують воду й концентрат у відношенні $7 : 3$ . Скільки потрібно концентрату, щоб дістати $2$ літри розчину?

Одна «порція» містить $7 + 3 = 10$ частин;
на кожні $10$ частин розчину припадає $3$ частини концентрату, тобто $\dfrac{3}{10}$ від усього об'єму;
отже, концентрату потрібно $2 \cdot \dfrac{3}{10} = 0{,}6$ л.

Відповідь: $0{,}6$ л (і, відповідно, $1{,}4$ л води).

Середні величини

Середнє арифметичне кількох груп із різними цінами:

$\bar{p} = \dfrac{n_1 p_1 + n_2 p_2 + \ldots}{n_1 + n_2 + \ldots}.$

Задачі часто просять найменше значення невідомого, за якого середнє переходить поріг — тоді розв'язують нерівність і беруть найближче ціле.

Середнє не є середнім із середніх

Якщо в одній групі $2$ елементи із середнім $10$ , а в другій $8$ елементів із середнім $5$ , загальне середнє не дорівнює $\dfrac{10+5}{2} = 7{,}5$ . Треба рахувати за формулою: $\dfrac{2\cdot10 + 8\cdot5}{10} = \dfrac{60}{10} = 6$ . Більша група «важить» більше.

Рух і робота

$S = v\cdot t \quad (\text{шлях}), \qquad A = P\cdot t \quad (\text{робота}).$

При русі назустріч швидкості додаються: час до зустрічі $t = \dfrac{S}{v_1 + v_2}$ .

Приклад. Зустріч

Між містами $270$ км. Назустріч виїжджають два автомобілі зі швидкостями $60$ і $75$ км/год. Через скільки годин вони зустрінуться?

Разом за годину вони долають $60 + 75 = 135$ км. Отже:

$t = \dfrac{270}{135} = 2 \text{ год}.$

Якщо об'єкти рухаються в один бік (навздогін), швидкості, навпаки, віднімають: відстань між ними скорочується зі швидкістю $v_1 - v_2$ . Той самий принцип працює в задачах про рух річкою: за течією швидкість човна дорівнює $v + u$ , проти течії — $v - u$ , де $u$ — швидкість течії.

Приклад 2 — рух за течією і проти

Човен пройшов $36$ км за течією за $2$ год, а назад — за $3$ год. Знайдемо власну швидкість човна й швидкість течії.

Швидкість за течією: $\dfrac{36}{2} = 18$ км/год;
швидкість проти течії: $\dfrac{36}{3} = 12$ км/год;
складаємо систему: $v + u = 18$ і $v - u = 12$ ;
додаємо рівняння: $2v = 30$ , отже $v = 15$ ;
звідси $u = 18 - 15 = 3$ .

Відповідь: власна швидкість $15$ км/год, швидкість течії $3$ км/год.

Спільна робота

Задачі про роботу влаштовані так само, як про рух, тільки замість швидкості — продуктивність. Усю роботу зручно взяти за одиницю.

Приклад. Разом швидше

Перший робітник виконує роботу за $6$ год, другий — за $3$ год. За скільки годин вони впораються разом?

За годину перший робить $\dfrac{1}{6}$ роботи, другий — $\dfrac{1}{3}$ . Разом за годину:

$\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.$

Половина роботи за годину — отже вся робота за $2$ год.

Зверни увагу на структуру такої задачі: додавати можна продуктивності, а не час. Поширена помилка — усереднити $6$ і $3$ години й дати відповідь $4{,}5$ год. Але спільна робота завжди швидша за роботу найшвидшого з учасників, тому відповідь обов'язково менша за $3$ год — це надійна перевірка.

Одиниці й здоровий глузд

Стеж за одиницями (км/год, л/хв) і перевіряй відповідь на реалістичність: кількість — ціле невід'ємне, час — додатний.

Типові помилки

Додають час замість продуктивностей у задачах про спільну роботу.
Усереднюють середні без урахування розміру груп.
Не зводять одиниці. Хвилини й години, грами й кілограми треба узгодити до підстановки.
Забувають відповісти на поставлене питання. Часто знаходять проміжну величину й записують у відповідь її.
Не перевіряють відповідь на здоровий глузд. Від'ємний час, дробова кількість людей чи швидкість течії, більша за швидкість човна, — ознаки помилки.

Прикладні (сюжетні) задачі

Як розв'язувати текстову задачу

Суміші та рецепти

Середні величини

Рух і робота

Спільна робота

Типові помилки

Перевір себе

Розібрані приклади