НМТ Математика

Раціональний дріб

Раціональний дріб — це дріб, чисельник і знаменник якого — многочлени, наприклад x+1x−3\dfrac{x + 1}{x - 3}, x2−4x\dfrac{x^2 - 4}{x}.

Раціональні дроби — технічна тема, від якої залежить половина подальшого курсу: області визначення функцій, дробові рівняння, границі, похідні. Дій тут небагато, і всі вони повторюють арифметику звичайних дробів. Нове лише одне — область допустимих значень, і саме через неї трапляється більшість помилок на НМТ.

Область допустимих значень (ОДЗ)

Ділити на нуль не можна, тому знаменник дробу не може дорівнювати нулю. Значення змінної, за яких знаменник перетворюється на нуль, виключають з області допустимих значень.

Обери приклад — і побач, які точки «виколюються» на числовій прямій:

Щоб знайти ОДЗ, прирівнюють знаменник до нуля й розв'язують рівняння: знайдені корені й будуть забороненими значеннями.

Не забувай про ОДЗ

ОДЗ визначають до скорочення дробу. Навіть якщо множник скоротився, заборонене значення залишається.

Це правило варто зрозуміти, а не завчити. Вирази x2−9x−3\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} і x+3x + 3 — не тотожні: другий визначений скрізь, а перший не існує при x=3x = 3. Скорочення змінює лише запис, але не сам вираз, тому обмеження зберігається.

Приклад 1 — ОДЗ дробу

Знайдемо область допустимих значень виразу x+5x2−4x\dfrac{x + 5}{x^2 - 4x}.

  1. Прирівнюємо знаменник до нуля: x2−4x=0x^2 - 4x = 0;
  2. виносимо спільний множник: x(x−4)=0x(x - 4) = 0;
  3. звідси x=0x = 0 або x=4x = 4 — це заборонені значення.

Відповідь: x≠0x \ne 0 і x≠4x \ne 4, тобто x∈(−∞; 0)∪(0; 4)∪(4; +∞)x \in (-\infty;\,0) \cup (0;\,4) \cup (4;\,+\infty). Зверни увагу: чисельник на ОДЗ не впливає взагалі — обмеження дає лише знаменник.

Основна властивість дробу

Дріб не зміниться, якщо чисельник і знаменник помножити або поділити на один і той самий вираз, відмінний від нуля:

ab=a⋅mb⋅m(m≠0).\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot m}{b \cdot m} \quad (m \neq 0).

Саме на цьому ґрунтується скорочення дробів. Зручно користуватися формулами скороченого множення, наприклад різницею квадратів:

x2−a2x−a=(x−a)(x+a)x−a=x+a.\dfrac{x^2 - a^2}{x - a} = \dfrac{(x - a)(x + a)}{x - a} = x + a.

Ключ до скорочення — розкласти на множники і чисельник, і знаменник. Скорочувати можна тільки спільні множники, а не доданки: у виразі x+2x\dfrac{x + 2}{x} скоротити xx не можна, бо в чисельнику він є доданком, а не множником.

Приклад 2 — скорочення дробу

Скоротимо дріб x2−25x2+5x\dfrac{x^2 - 25}{x^2 + 5x}.

  1. Чисельник — різниця квадратів: x2−25=(x−5)(x+5)x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5);
  2. знаменник — виносимо спільний множник: x2+5x=x(x+5)x^2 + 5x = x(x + 5);
  3. записуємо ОДЗ (до скорочення): x≠0x \ne 0 і x≠−5x \ne -5;
  4. скорочуємо на спільний множник (x+5)(x + 5): лишається x−5x\dfrac{x - 5}{x}.

Відповідь: x−5x\dfrac{x - 5}{x} за умови x≠0x \ne 0 і x≠−5x \ne -5.

Дії з дробами

Додавання й віднімання — зводять до спільного знаменника, потім діють з чисельниками:

ax+bx=a+bx.\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x} = \dfrac{a + b}{x}.

Множення — чисельник на чисельник, знаменник на знаменник; спільні множники скорочують:

ab⋅cd=a⋅cb⋅d.\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}.

Ділення — множення на обернений дріб.

Найкорисніша порада щодо множення й ділення: скорочуй до того, як перемножувати. Якщо спершу розкрити всі добутки, вийдуть громіздкі многочлени, у яких спільні множники вже не видно.

Приклад 3 — додавання дробів

Спростимо вираз 3x+2x+1\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x + 1}.

  1. Спільний знаменник — добуток x(x+1)x(x + 1);
  2. домножуємо перший дріб на (x+1)(x+1), другий — на xx: 3(x+1)x(x+1)+2xx(x+1)\dfrac{3(x + 1)}{x(x+1)} + \dfrac{2x}{x(x+1)};
  3. додаємо чисельники: 3x+3+2xx(x+1)=5x+3x(x+1)\dfrac{3x + 3 + 2x}{x(x+1)} = \dfrac{5x + 3}{x(x + 1)}.

Відповідь: 5x+3x(x+1)\dfrac{5x + 3}{x(x+1)} за умови x≠0x \ne 0 і x≠−1x \ne -1.

Знак перед дробом

Віднімаючи дріб, змінюй знак усього чисельника, а не лише першого доданка: −x−25=−x+25-\dfrac{x - 2}{5} = \dfrac{-x + 2}{5}. Втрачений тут мінус — одна з найчастіших помилок в алгебраїчних перетвореннях.

Типові помилки

  • Скорочують доданки замість множників. У x+3x\dfrac{x + 3}{x} скоротити xx не можна.
  • Шукають ОДЗ після скорочення. Обмеження визначає вихідний знаменник.
  • Втрачають знак при відніманні дробів. Мінус діє на весь чисельник.
  • Додають дроби «по-простому» — окремо чисельники й окремо знаменники. Це працює лише для множення.
  • Забувають перевірити чисельник на розкладання. Без розкладання спільний множник просто не видно, і дріб здається нескоротним.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Дроби пиши через /: x/5, 7/x. Степінь — через ^. Для заборонених значень вводь числа через крапку з комою: -2; 3.

Завдання формату НМТ

Завдання в тому вигляді, як їх дають на національному мультипредметному тесті: вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), установлення відповідності та коротка відповідь десятковим дробом. Там, де є позначка «Прототип», задачу побудовано за типом реального завдання НМТ минулих років; числа в умові щоразу нові.

  • Скорочення дробу

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2022 · №7

  • Спрощення суми дробів

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2023 · зошит 1 · №14

  • Відповідність: дріб ↔ допустимі значення

    Відповідність

  • Значення дробу після скорочення

    Коротка відповідь

Приклади розв’язання завдань НМТ

Так розв’язують завдання формату НМТ із цієї теми — по одному прикладу на кожен формат: вибір відповіді, відповідність, коротка відповідь. У розділі «Завдання формату НМТ» числа щоразу нові, а тут кожен крок розписано.

  1. 1Скорочення дробу
    Вибір А–Д
    Прототип: НМТ 2022 · №7
    Скоротіть дріб 12ab46a2b. \dfrac{12ab^{4}}{6a^{2}b}.
    • А2b3a\dfrac{2b^{3}}{a}
    • Б2b5a3\dfrac{2b^{5}}{a^{3}}
    • В2ab32ab^{3}
    • Гb32a\dfrac{b^{3}}{2a}
    • Д2ab3\dfrac{2a}{b^{3}}
    Скоротіть коефіцієнти, а показники степенів однакових основ відніміть.
    Показати розв’язання
    1. 1
      126=2\dfrac{12}{6} = 2
    2. 2
      aa2=1a\dfrac{a}{a^{2}} = \dfrac{1}{a}
    3. 3
      b4b=b3⇒2b3a\dfrac{b^{4}}{b} = b^{3} \Rightarrow \dfrac{2b^{3}}{a}
    Відповідь: А) 2b3a \dfrac{2b^{3}}{a}
  2. 2Відповідність: дріб ↔ допустимі значення
    Відповідність
    Установіть відповідність між виразом (1–3) та множиною допустимих значень змінної (А–Д).
    Аx≠±2x \ne \pm 2
    Бx≠0, x≠2x \ne 0,\ x \ne 2
    Вx≠0x \ne 0
    Гx≠2x \ne 2
    Дx≠−2x \ne -2
    • 1.5x2−2x\dfrac{5}{x^2-2x}
    • 2.xx2−4\dfrac{x}{x^2-4}
    • 3.2x+2\dfrac{2}{x+2}
    Знаменник дробу не може дорівнювати нулю.
    Показати розв’язання
    1. 1
      1 — Б: x(x−2)≠0 x(x-2) \ne 0
    2. 2
      2 — А: x2≠4 x^2 \ne 4
    3. 3
      3 — Д: x+2≠0 x+2 \ne 0
    Відповідь:
    • 1 — Б: 5x2−2x  →  x≠0, x≠2 \dfrac{5}{x^2-2x} \;\to\; x \ne 0,\ x \ne 2
    • 2 — А: xx2−4  →  x≠±2 \dfrac{x}{x^2-4} \;\to\; x \ne \pm 2
    • 3 — Д: 2x+2  →  x≠−2 \dfrac{2}{x+2} \;\to\; x \ne -2
  3. 3Значення дробу після скорочення
    Коротка відповідь
    Знайдіть значення виразу x2−81x2+9x \dfrac{x^2-81}{x^2+9x}, якщо x=4. x = 4.
    Розкладіть чисельник і знаменник на множники й скоротіть дріб.
    Показати розв’язання
    1. 1
      (x−9)(x+9)x(x+9)=x−9x=4−94=−1,25\dfrac{(x-9)(x+9)}{x(x+9)} = \dfrac{x-9}{x} = \dfrac{4-9}{4} = -1{,}25
    Відповідь: −1,25-1{,}25