Лінійні рівняння та нерівності

Рівняння — це рівність із невідомим. Корінь рівняння — таке значення невідомого, що перетворює рівність на правильну числову рівність. Розв'язати рівняння — означає знайти всі його корені або довести, що їх немає.

Лінійне рівняння — найпростіше з усіх, але саме воно задає стандарт роботи, який повторюватиметься до кінця курсу: перенести, звести подібні, поділити. Ба більше, переважна частина складніших рівнянь — квадратних, дробових, показникових — зрештою зводиться до лінійного. Тому вправність тут окупається в кожній наступній темі.

Рівносильні перетворення

Два рівняння рівносильні, якщо мають однакові корені. Корені не змінюються, якщо:

• перенести доданок з однієї частини в іншу зі зміною знака;
• помножити або поділити обидві частини на одне й те саме число, відмінне від нуля.

Уяви рівняння як терези: що б ти не робив, обидві шальки треба змінювати однаково, інакше рівновага (рівність) порушиться. Покрути повзунки нижче — і добери пробне $x$, щоб терези зрівноважились.

Застереження «відмінне від нуля» не формальність. Множення на нуль перетворює будь-яке рівняння на тотожність $0 = 0$, а ділення на нуль просто не визначене. Саме тому в рівняннях зі змінною в знаменнику доводиться окремо стежити за ОДЗ.

Лінійне рівняння

Лінійне рівняння — це рівняння виду

$ax + b = 0,$

де $a$, $b$ — числа, $x$ — невідоме. Якщо $a \neq 0$, рівняння має єдиний корінь:

$x = -\dfrac{b}{a}.$

Особливі випадки при $a = 0$:

• $0 \cdot x + b = 0$ і $b \neq 0$ — коренів немає;
• $0 \cdot x + 0 = 0$ — будь-яке число є коренем (безліч розв'язків).

Три випадки з $a$ і $b$ — улюблений сюжет завдань із параметром. Формулювання «за якого значення $a$ рівняння не має коренів» майже завжди означає, що треба прирівняти коефіцієнт при $x$ до нуля й перевірити, що вільний член при цьому нулю не дорівнює.

Як розв'язувати: алгоритм

Щоб розв'язати рівняння, що зводиться до лінійного:

1. розкрий дужки;
2. перенеси всі члени з $x$ в одну частину, числа — в іншу (зі зміною знака);
3. зведи подібні: отримаєш $ax = c$;
4. поділи обидві частини на $a$ (якщо $a \neq 0$).

Типові помилки

• Не змінюють знак при перенесенні. Доданок, що переходить через знак рівності, обов'язково змінює знак на протилежний.
• Розкривають дужки з мінусом неуважно. Мінус перед дужкою змінює знак кожного доданка всередині.
• Ділять на коефіцієнт, не перевіривши, чи він нульовий.
• Множать на спільний знаменник не всі доданки. Множити треба кожен член обох частин, включно з тими, що без дробу.
• Не перевіряють відповідь. Підстановка кореня у вихідне рівняння займає кілька секунд і ловить майже будь-яку арифметичну помилку.

Перевір себе