Степінь. Одночлени. Многочлени

Ця тема — робочий інструмент для всієї подальшої алгебри. Властивості степенів використовуються в показникових і логарифмічних рівняннях, у похідній, у стандартному вигляді числа; формули скороченого множення — у розкладанні на множники, скороченні дробів і розв'язанні рівнянь. Помилки тут майже завжди технічні — і саме тому найбільш прикрі: вони псують правильно задуманий розв'язок.

Степінь з натуральним показником

Степінь $a^n$ з натуральним показником $n$ — це добуток $n$ однакових множників:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ множників}}.$

Число $a$ називають основою, $n$ — показником степеня.

Властивості степенів

Обери правило й покрути показники — приклад із підстановкою та числова перевірка оновлюються миттєво:

Основні властивості (для однакової основи $a \neq 0$):

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{m \cdot n}.$

$(ab)^n = a^n b^n, \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}.$

Усі ці правила легко відновити з означення, якщо забув. Наприклад, $a^2 \cdot a^3 = (aa)(aaa) = a^5$ — показники справді додалися. Тому не заучуй їх списком: за потреби перевіряй на маленьких числах.

Важливо, чого в списку немає: правил для суми основ. Вирази $(a+b)^n$ і $a^n + b^n$ різні, і саме тут виникає найпоширеніша помилка курсу.

Цілий показник

Показник може бути нулем або від'ємним:

$a^{0} = 1 \ (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}.$

Обидві домовленості не випадкові — вони випливають із правила ділення. Справді, $\dfrac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0$, але той самий дріб очевидно дорівнює $1$; звідси $a^0 = 1$. Так само $\dfrac{a^2}{a^5} = a^{-3}$, а прямим скороченням дістаємо $\dfrac{1}{a^3}$.

Одночлени

Одночлен — це добуток чисел і степенів змінних, наприклад $5x^3$, $-2ab^2$. Число-множник називають коефіцієнтом. Одночлени множать за правилом: перемножують коефіцієнти, а показники однакових змінних додають:

$a x^m \cdot b x^n = ab\, x^{m+n}.$

Степенем одночлена називають суму показників усіх його змінних: одночлен $-2ab^2$ має степінь $1 + 2 = 3$.

Многочлени

Многочлен — це сума одночленів (його членів). Щоб додати або відняти многочлени, зводять подібні члени (з однаковими змінними в однакових степенях).

Щоб перемножити многочлени, кожен член першого множать на кожен член другого. Найважливіший випадок — добуток двох двочленів. Покрути $a$ і $b$:

Ці формули корисні в обидва боки. Зліва направо вони розкривають дужки, а справа наліво — розкладають вираз на множники, що потрібно для скорочення дробів і розв'язання рівнянь. Найбільш «прибуткова» — різниця квадратів: побачивши $x^2 - 25$, одразу пиши $(x-5)(x+5)$.

Типові помилки

• Підносять суму до степеня почленно. $(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$.
• Множать показники замість додавання (або навпаки). При множенні степенів показники додають, при піднесенні степеня до степеня — множать.
• Вважають $a^{-n}$ від'ємним числом.
• Забувають подвоєний добуток у формулі квадрата суми.
• Зводять неподібні члени. $3x^2$ і $3x$ — не подібні, додати їх не можна.
• Не виносять спільний множник перед розкладанням. Це майже завжди перший крок.

Перевір себе