Побудова графіків геометричними перетвореннями

Знаючи графік базової функції $y = f(x)$ , можна швидко будувати графіки складніших функцій — за допомогою зсувів, симетрій і розтягів.

Цінність підходу в тому, що замість побудови графіка по точках достатньо впізнати знайому «заготовку» й зрозуміти, як її перемістили. Базових графіків небагато — пряма, парабола, гіпербола, корінь, синус — а разом із перетвореннями вони покривають майже всі функції шкільного курсу.

Зсуви

$y = f(x) + a$ — зсув угору на $a$ (при $a > 0$ ) або вниз (при $a < 0$ );
$y = f(x - a)$ — зсув праворуч на $a$ ;
$y = f(x + a)$ — зсув ліворуч на $a$ .

Обережно зі знаком по x

$f(x - a)$ зсуває графік праворуч, а $f(x + a)$ — ліворуч. Це часто плутають: знак «мінус» усередині дужок означає рух у додатному напрямі осі.

Правило здається нелогічним, але його легко пояснити. Щоб функція $f(x-3)$ набула того значення, яке $f$ мала в нулі, потрібно $x - 3 = 0$ , тобто $x = 3$ . Тобто вся картина «переїхала» в точку $3$ — праворуч. Перетворення всередині аргументу завжди діють «навпаки» до інтуїції, а зовнішні — прямо.

Симетрії та розтяг

$y = -f(x)$ — симетрія відносно осі $Ox$ (графік «перевертається» вниз);
$y = f(-x)$ — симетрія відносно осі $Oy$ ;
$y = k \cdot f(x)$ — розтяг у $k$ разів уздовж осі $Oy$ (при $|k| > 1$ ) або стиск (при $0 < |k| < 1$ ); від'ємний $k$ додає симетрію відносно $Ox$ .

Порухай повзунки й простеж за перетвореннями параболи (пунктир — оригінал):

Зверни увагу на те саме розрізнення: мінус перед функцією ( $-f(x)$ ) відбиває графік відносно горизонтальної осі, а мінус усередині ( $f(-x)$ ) — відносно вертикальної. Для парної функції, як-от $y = x^2$ , друге перетворення нічого не змінює — саме тому парність і означують рівністю $f(-x) = f(x)$ .

Приклад 1 — послідовність перетворень

Опишемо, як із графіка $y = x^2$ дістати графік $y = -(x - 4)^2 + 3$ .

Зсув праворуч на $4$ : $y = (x-4)^2$ — вершина переїжджає з $(0;0)$ у $(4;0)$ ;
симетрія відносно осі $Ox$ : $y = -(x-4)^2$ — вітки повертають униз;
зсув угору на $3$ : $y = -(x-4)^2 + 3$ — вершина переходить у $(4;\,3)$ .

Отже, це парабола з вершиною $(4;\,3)$ і вітками вниз.

Загальний вигляд

Комбінуючи перетворення, з $y = x^2$ отримують будь-яку параболу:

$y = k(x - h)^2 + v.$

Що означає кожна буква

Буква	Назва	За що відповідає	Як впливає
$k$	коефіцієнт	розтяг і напрям гілок	$\lvert k\rvert>1$ — вужча, $\lvert k\rvert<1$ — ширша, $k<0$ — гілки вниз
$h$	зсув по $x$	рух вбік	$h>0$ — праворуч, $h<0$ — ліворуч
$v$	зсув по $y$	рух вгору/вниз	$v>0$ — угору, $v<0$ — униз

Найважливіше: вершина параболи завжди в точці $(h;\,v)$ — саме числа з формули й задають, куди «переїхала» вершина.

Обережно зі знаком у дужках

У формулі стоїть $(x - h)$ , тому запис $(x - 3)^2$ означає зсув праворуч на $3$ (бо $h = 3$ ), а $(x + 3)^2$ — це $(x - (-3))^2$ , тобто зсув ліворуч на $3$ . Знак у дужках «обманює» — дивись на $h$ , а не на символ.

Приклад 2 — від графіка до формули

Парабола має вершину $(-2;\,5)$ , вітки напрямлені вниз, а за формою збігається з $y = x^2$ . Запишемо її рівняння.

Вершина $(h;\,v) = (-2;\,5)$ , отже $h = -2$ , $v = 5$ ;
підставляємо у шаблон: $y = k(x - (-2))^2 + 5 = k(x+2)^2 + 5$ ;
форма така сама, як у $y = x^2$ , але вітки вниз, тому $k = -1$ .

Відповідь: $y = -(x+2)^2 + 5$ .

Порядок дій

Спершу застосовують перетворення всередині функції (по $x$ ), потім — зовнішні (по $y$ ).

Приклад 3 — образ точки

Точка $A(1;\,4)$ лежить на графіку $y = f(x)$ . Знайдемо, у яку точку вона перейде на графіку $y = f(x - 3) + 2$ .

Зсув усередині аргументу на $3$ переміщує графік праворуч: абсциса стає $1 + 3 = 4$ ;
зовнішній доданок $+2$ зсуває вгору: ордината стає $4 + 2 = 6$ .

Відповідь: $(4;\,6)$ . Перевірка: при $x = 4$ маємо $f(4-3) + 2 = f(1) + 2 = 4 + 2 = 6$ ✅.

Типові помилки

Зсувають графік у протилежний бік по $x$ . $f(x-a)$ — праворуч, $f(x+a)$ — ліворуч.
Плутають $-f(x)$ і $f(-x)$ . Перше — симетрія відносно $Ox$ , друге — відносно $Oy$ .
Читають вершину прямо з дужки. У $y = (x+3)^2$ вершина в точці $x = -3$ .
Застосовують перетворення в довільному порядку. Спершу внутрішні (по $x$ ), потім зовнішні (по $y$ ).
Вважають, що $k$ зсуває графік. Коефіцієнт $k$ лише розтягує чи перевертає його, вершина при цьому не рухається.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Числові відповіді — одним числом. Для опису перетворення натисни потрібний варіант.