Побудова графіків геометричними перетвореннями

Знаючи графік базової функції $y = f(x)$ , можна швидко будувати графіки складніших функцій — за допомогою зсувів, симетрій і розтягів.

Цінність підходу в тому, що замість побудови графіка по точках достатньо впізнати знайому «заготовку» й зрозуміти, як її перемістили. Базових графіків небагато — пряма, парабола, гіпербола, корінь, синус — а разом із перетвореннями вони покривають майже всі функції шкільного курсу.

Зсуви

$y = f(x) + a$ — зсув угору на $a$ (при $a > 0$ ) або вниз (при $a < 0$ );
$y = f(x - a)$ — зсув праворуч на $a$ ;
$y = f(x + a)$ — зсув ліворуч на $a$ .

Обережно зі знаком по x

$f(x - a)$ зсуває графік праворуч, а $f(x + a)$ — ліворуч. Це часто плутають: знак «мінус» усередині дужок означає рух у додатному напрямі осі.

Правило здається нелогічним, але його легко пояснити. Щоб функція $f(x-3)$ набула того значення, яке $f$ мала в нулі, потрібно $x - 3 = 0$ , тобто $x = 3$ . Тобто вся картина «переїхала» в точку $3$ — праворуч. Перетворення всередині аргументу завжди діють «навпаки» до інтуїції, а зовнішні — прямо.

Симетрії та розтяг

$y = -f(x)$ — симетрія відносно осі $Ox$ (графік «перевертається» вниз);
$y = f(-x)$ — симетрія відносно осі $Oy$ ;
$y = k \cdot f(x)$ — розтяг у $k$ разів уздовж осі $Oy$ (при $|k| > 1$ ) або стиск (при $0 < |k| < 1$ ); від'ємний $k$ додає симетрію відносно $Ox$ .

Порухай повзунки й простеж за перетвореннями параболи (пунктир — оригінал):

Зверни увагу на те саме розрізнення: мінус перед функцією ( $-f(x)$ ) відбиває графік відносно горизонтальної осі, а мінус усередині ( $f(-x)$ ) — відносно вертикальної. Для парної функції, як-от $y = x^2$ , друге перетворення нічого не змінює — саме тому парність і означують рівністю $f(-x) = f(x)$ .

Приклад 1 — послідовність перетворень

Опишемо, як із графіка $y = x^2$ дістати графік $y = -(x - 4)^2 + 3$ .

Зсув праворуч на $4$ : $y = (x-4)^2$ — вершина переїжджає з $(0;0)$ у $(4;0)$ ;
симетрія відносно осі $Ox$ : $y = -(x-4)^2$ — вітки повертають униз;
зсув угору на $3$ : $y = -(x-4)^2 + 3$ — вершина переходить у $(4;\,3)$ .

Отже, це парабола з вершиною $(4;\,3)$ і вітками вниз.

Загальний вигляд

Комбінуючи перетворення, з $y = x^2$ отримують будь-яку параболу:

$y = k(x - h)^2 + v.$

Що означає кожна буква

Буква	Назва	За що відповідає	Як впливає
$k$	коефіцієнт	розтяг і напрям гілок	$\lvert k\rvert>1$ — вужча, $\lvert k\rvert<1$ — ширша, $k<0$ — гілки вниз
$h$	зсув по $x$	рух вбік	$h>0$ — праворуч, $h<0$ — ліворуч
$v$	зсув по $y$	рух вгору/вниз	$v>0$ — угору, $v<0$ — униз

Найважливіше: вершина параболи завжди в точці $(h;\,v)$ — саме числа з формули й задають, куди «переїхала» вершина.

Обережно зі знаком у дужках

У формулі стоїть $(x - h)$ , тому запис $(x - 3)^2$ означає зсув праворуч на $3$ (бо $h = 3$ ), а $(x + 3)^2$ — це $(x - (-3))^2$ , тобто зсув ліворуч на $3$ . Знак у дужках «обманює» — дивись на $h$ , а не на символ.

Приклад 2 — від графіка до формули

Парабола має вершину $(-2;\,5)$ , вітки напрямлені вниз, а за формою збігається з $y = x^2$ . Запишемо її рівняння.

Вершина $(h;\,v) = (-2;\,5)$ , отже $h = -2$ , $v = 5$ ;
підставляємо у шаблон: $y = k(x - (-2))^2 + 5 = k(x+2)^2 + 5$ ;
форма така сама, як у $y = x^2$ , але вітки вниз, тому $k = -1$ .

Відповідь: $y = -(x+2)^2 + 5$ .

Порядок дій

Спершу застосовують перетворення всередині функції (по $x$ ), потім — зовнішні (по $y$ ).

Приклад 3 — образ точки

Точка $A(1;\,4)$ лежить на графіку $y = f(x)$ . Знайдемо, у яку точку вона перейде на графіку $y = f(x - 3) + 2$ .

Зсув усередині аргументу на $3$ переміщує графік праворуч: абсциса стає $1 + 3 = 4$ ;
зовнішній доданок $+2$ зсуває вгору: ордината стає $4 + 2 = 6$ .

Відповідь: $(4;\,6)$ . Перевірка: при $x = 4$ маємо $f(4-3) + 2 = f(1) + 2 = 4 + 2 = 6$ ✅.

Типові помилки

Зсувають графік у протилежний бік по $x$ . $f(x-a)$ — праворуч, $f(x+a)$ — ліворуч.
Плутають $-f(x)$ і $f(-x)$ . Перше — симетрія відносно $Ox$ , друге — відносно $Oy$ .
Читають вершину прямо з дужки. У $y = (x+3)^2$ вершина в точці $x = -3$ .
Застосовують перетворення в довільному порядку. Спершу внутрішні (по $x$ ), потім зовнішні (по $y$ ).
Вважають, що $k$ зсуває графік. Коефіцієнт $k$ лише розтягує чи перевертає його, вершина при цьому не рухається.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Числові відповіді — одним числом. Для опису перетворення натисни потрібний варіант.

Побудова графіків геометричними перетвореннями

Зсуви

Симетрії та розтяг

Загальний вигляд

Що означає кожна буква

Типові помилки

Перевір себе

Завдання формату НМТ

Приклади розв’язання завдань НМТ