Первісна та визначений інтеграл

Інтегрування — це похідна навпаки. Якщо похідна за функцією знаходить швидкість її зміни, то первісна за швидкістю відновлює саму функцію. А визначений інтеграл додає до цього геометричний зміст: він дорівнює площі під графіком. На НМТ від теми потрібні три речі — знайти первісну за таблицею, обчислити визначений інтеграл і застосувати його до площі фігури.

Первісна

Функцію $F$ називають первісною для $f$ на проміжку, якщо $F'(x) = f(x)$ . Диференціювання й знаходження первісної — взаємно обернені дії.

Первісні визначені з точністю до сталої: якщо $F$ — первісна для $f$ , то й $F + C$ теж (бо $(F+C)' = F'$ ). Тому пишуть невизначений інтеграл:

$\int f(x)\,dx = F(x) + C.$

Стала $C$ з'являється тому, що похідна будь-якої константи дорівнює нулю: функції $x^2$ , $x^2 + 5$ і $x^2 - 100$ мають одну й ту саму похідну $2x$ . Геометрично це означає, що всі первісні — це один графік, зсунутий по вертикалі.

Таблиця первісних

Функція $f(x)$	Первісна $F(x)$
$x^n \ (n \ne -1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$k$ (стала)	$kx + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$e^x$	$e^x + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert + C$

Як читати таблицю: первісна — це «навпаки до похідної». Перевірка завжди одна: продиференціюй $F$ і має вийти $f$ .

Приклад. Первісна для $f(x) = 6x^2$ : степінь $2$ підвищуємо на одиницю й ділимо на новий показник — $F(x) = \dfrac{6x^{3}}{3} = 2x^3$ (плюс $C$ ). Перевірка: $(2x^3)' = 6x^2$ ✓

Зверни увагу на знак у рядку із синусом: первісна для $\sin x$ — це $-\cos x$ , тобто з'являється мінус. Причина видна з перевірки: $(-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$ ✅. Це місце, де помиляються найчастіше.

Приклад 1 — первісна многочлена

Знайдемо первісну для $f(x) = 4x^3 - 6x + 5$ .

Для $4x^3$ : підвищуємо степінь до $4$ і ділимо на $4$ — дістаємо $x^4$ ;
для $-6x$ : степінь стає $2$ , ділимо на $2$ — дістаємо $-3x^2$ ;
для сталої $5$ : первісна $5x$ ;
разом: $F(x) = x^4 - 3x^2 + 5x + C$ .

Перевірка: $(x^4 - 3x^2 + 5x)' = 4x^3 - 6x + 5$ ✅. Перевірка диференціюванням займає кілька секунд і ловить будь-яку помилку — користуйся нею завжди.

Визначений інтеграл. Формула Ньютона–Лейбніца

Визначений інтеграл від $a$ до $b$ обчислюють через будь-яку первісну $F$ :

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$

Геометрично він дорівнює площі криволінійної трапеції — фігури під графіком $y=f(x)$ (при $f \ge 0$ ) над віссю $Ox$ на $[a;b]$ . Рухай межі й стеж за площею:

Оскільки стала $C$ при відніманні скорочується ( $(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b) - F(a)$ ), у визначеному інтегралі її не пишуть узагалі — можна брати будь-яку первісну.

Алгоритм для многочлена

Знайти первісну $F$ почленно (степенева формула).
Підставити верхню межу: $F(b)$ .
Підставити нижню межу: $F(a)$ .
Відняти: $\int_a^b f = F(b) - F(a)$ .

Приклад 2 — визначений інтеграл

Обчислимо $\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,dx$ .

Первісна: $F(x) = x^2 + x$ ;
верхня межа: $F(3) = 9 + 3 = 12$ ;
нижня межа: $F(1) = 1 + 1 = 2$ ;
різниця: $12 - 2 = 10$ .

Відповідь: $10$ . Перевірка геометрією: фігура — трапеція з основами $f(1) = 3$ і $f(3) = 7$ та висотою $2$ , тому її площа $\dfrac{3+7}{2}\cdot 2 = 10$ ✅.

Порядок меж має значення

У формулі Ньютона–Лейбніца від значення у верхній межі віднімають значення в нижній. Переставивши їх, дістанеш відповідь із протилежним знаком. Якщо площа вийшла від'ємною, найімовірніше, межі переплутано.

Приклад 3 — площа фігури

Знайдемо площу фігури, обмеженої параболою $y = 4 - x^2$ і віссю $Ox$ .

Спершу знаходимо межі — точки перетину з віссю: $4 - x^2 = 0$ , звідси $x = \pm 2$ ;
на проміжку $[-2;\,2]$ функція невід'ємна, тому площа дорівнює інтегралу;
первісна: $F(x) = 4x - \dfrac{x^3}{3}$ ;
$F(2) = 8 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{16}{3}$ , а $F(-2) = -8 + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{16}{3}$ ;
площа: $\dfrac{16}{3} - \left(-\dfrac{16}{3}\right) = \dfrac{32}{3}$ .

Відповідь: $\dfrac{32}{3} \approx 10{,}7$ . Зауваж перший крок: у задачах на площу межі інтегрування часто не дані — їх треба знайти з рівняння.

Типові помилки

Забувають мінус у первісній для $\sin x$ .
Ділять на старий показник замість нового. У формулі $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ обидва місця містять $n+1$ .
Плутають порядок меж і отримують відповідь із протилежним знаком.
Застосовують степеневу формулу при $n = -1$ . Для $\dfrac{1}{x}$ первісна — логарифм, а не $\dfrac{x^0}{0}$ .
Вважають інтеграл площею, коли функція від'ємна. Там, де графік нижче осі, інтеграл дає від'ємне значення, і площу треба брати за модулем.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Первісну вводь без сталої $C$ (напр. 2*x^3); зірочку можна пропускати. Перевірка приймає будь-який еквівалентний запис.

Первісна та визначений інтеграл