НМТ Математика

Первісна та визначений інтеграл

Інтегрування — це похідна навпаки. Якщо похідна за функцією знаходить швидкість її зміни, то первісна за швидкістю відновлює саму функцію. А визначений інтеграл додає до цього геометричний зміст: він дорівнює площі під графіком. На НМТ від теми потрібні три речі — знайти первісну за таблицею, обчислити визначений інтеграл і застосувати його до площі фігури.

Первісна

Функцію FF називають первісною для ff на проміжку, якщо F′(x)=f(x)F'(x) = f(x). Диференціювання й знаходження первісної — взаємно обернені дії.

Первісні визначені з точністю до сталої: якщо FF — первісна для ff, то й F+CF + C теж (бо (F+C)′=F′(F+C)' = F'). Тому пишуть невизначений інтеграл:

∫f(x) dx=F(x)+C.\int f(x)\,dx = F(x) + C.

Стала CC з'являється тому, що похідна будь-якої константи дорівнює нулю: функції x2x^2, x2+5x^2 + 5 і x2−100x^2 - 100 мають одну й ту саму похідну 2x2x. Геометрично це означає, що всі первісні — це один графік, зсунутий по вертикалі.

Таблиця первісних

Функція f(x)f(x)Первісна F(x)F(x)
xn (n≠−1)x^n \ (n \ne -1)xn+1n+1+C\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C
kk (стала)kx+Ckx + C
cos⁡x\cos xsin⁡x+C\sin x + C
sin⁡x\sin x−cos⁡x+C-\cos x + C
exe^xex+Ce^x + C
1x\dfrac{1}{x}ln⁡∣x∣+C\ln\lvert x\rvert + C

Як читати таблицю: первісна — це «навпаки до похідної». Перевірка завжди одна: продиференціюй FF і має вийти ff.

Приклад. Первісна для f(x)=6x2f(x) = 6x^2: степінь 22 підвищуємо на одиницю й ділимо на новий показник — F(x)=6x33=2x3F(x) = \dfrac{6x^{3}}{3} = 2x^3 (плюс CC). Перевірка: (2x3)′=6x2(2x^3)' = 6x^2 ✓

Зверни увагу на знак у рядку із синусом: первісна для sin⁡x\sin x — це −cos⁡x-\cos x, тобто з'являється мінус. Причина видна з перевірки: (−cos⁡x)′=−(−sin⁡x)=sin⁡x(-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x ✅. Це місце, де помиляються найчастіше.

Приклад 1 — первісна многочлена

Знайдемо первісну для f(x)=4x3−6x+5f(x) = 4x^3 - 6x + 5.

  1. Для 4x34x^3: підвищуємо степінь до 44 і ділимо на 44 — дістаємо x4x^4;
  2. для −6x-6x: степінь стає 22, ділимо на 22 — дістаємо −3x2-3x^2;
  3. для сталої 55: первісна 5x5x;
  4. разом: F(x)=x4−3x2+5x+CF(x) = x^4 - 3x^2 + 5x + C.

Перевірка: (x4−3x2+5x)′=4x3−6x+5(x^4 - 3x^2 + 5x)' = 4x^3 - 6x + 5 ✅. Перевірка диференціюванням займає кілька секунд і ловить будь-яку помилку — користуйся нею завжди.

Визначений інтеграл. Формула Ньютона–Лейбніца

Визначений інтеграл від aa до bb обчислюють через будь-яку первісну FF:

∫abf(x) dx=F(b)−F(a).\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).

Геометрично він дорівнює площі криволінійної трапеції — фігури під графіком y=f(x)y=f(x) (при f≥0f \ge 0) над віссю OxOx на [a;b][a;b]. Рухай межі й стеж за площею:

Оскільки стала CC при відніманні скорочується ((F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a)(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b) - F(a)), у визначеному інтегралі її не пишуть узагалі — можна брати будь-яку первісну.

Алгоритм для многочлена
  1. Знайти первісну FF почленно (степенева формула).
  2. Підставити верхню межу: F(b)F(b).
  3. Підставити нижню межу: F(a)F(a).
  4. Відняти: ∫abf=F(b)−F(a)\int_a^b f = F(b) - F(a).
Приклад 2 — визначений інтеграл

Обчислимо ∫13(2x+1) dx\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,dx.

  1. Первісна: F(x)=x2+xF(x) = x^2 + x;
  2. верхня межа: F(3)=9+3=12F(3) = 9 + 3 = 12;
  3. нижня межа: F(1)=1+1=2F(1) = 1 + 1 = 2;
  4. різниця: 12−2=1012 - 2 = 10.

Відповідь: 1010. Перевірка геометрією: фігура — трапеція з основами f(1)=3f(1) = 3 і f(3)=7f(3) = 7 та висотою 22, тому її площа 3+72⋅2=10\dfrac{3+7}{2}\cdot 2 = 10 ✅.

Порядок меж має значення

У формулі Ньютона–Лейбніца від значення у верхній межі віднімають значення в нижній. Переставивши їх, дістанеш відповідь із протилежним знаком. Якщо площа вийшла від'ємною, найімовірніше, межі переплутано.

Приклад 3 — площа фігури

Знайдемо площу фігури, обмеженої параболою y=4−x2y = 4 - x^2 і віссю OxOx.

  1. Спершу знаходимо межі — точки перетину з віссю: 4−x2=04 - x^2 = 0, звідси x=±2x = \pm 2;
  2. на проміжку [−2; 2][-2;\,2] функція невід'ємна, тому площа дорівнює інтегралу;
  3. первісна: F(x)=4x−x33F(x) = 4x - \dfrac{x^3}{3};
  4. F(2)=8−83=163F(2) = 8 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{16}{3}, а F(−2)=−8+83=−163F(-2) = -8 + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{16}{3};
  5. площа: 163−(−163)=323\dfrac{16}{3} - \left(-\dfrac{16}{3}\right) = \dfrac{32}{3}.

Відповідь: 323≈10,7\dfrac{32}{3} \approx 10{,}7. Зауваж перший крок: у задачах на площу межі інтегрування часто не дані — їх треба знайти з рівняння.

Типові помилки

  • Забувають мінус у первісній для sin⁡x\sin x.
  • Ділять на старий показник замість нового. У формулі xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1} обидва місця містять n+1n+1.
  • Плутають порядок меж і отримують відповідь із протилежним знаком.
  • Застосовують степеневу формулу при n=−1n = -1. Для 1x\dfrac{1}{x} первісна — логарифм, а не x00\dfrac{x^0}{0}.
  • Вважають інтеграл площею, коли функція від'ємна. Там, де графік нижче осі, інтеграл дає від'ємне значення, і площу треба брати за модулем.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Первісну вводь без сталої CC (напр. 2*x^3); зірочку можна пропускати. Перевірка приймає будь-який еквівалентний запис.

Завдання формату НМТ

Завдання в тому вигляді, як їх дають на національному мультипредметному тесті: вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), установлення відповідності та коротка відповідь десятковим дробом. Там, де є позначка «Прототип», задачу побудовано за типом реального завдання НМТ минулих років; числа в умові щоразу нові.

  • Функція за первісною

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2023 · зошит 2 · №11

  • Загальний вигляд первісних

    Вибір А–Д

  • Інтеграл від кусково-сталої функції

    Коротка відповідь · Прототип: НМТ 2024 · зошит 2 · №19

  • Інтеграл після скорочення дробу

    Коротка відповідь · Прототип: НМТ 2024 · зошит 1 · №19

Приклади розв’язання завдань НМТ

Так розв’язують завдання формату НМТ із цієї теми — по одному прикладу на кожен формат: вибір відповіді, відповідність, коротка відповідь. У розділі «Завдання формату НМТ» числа щоразу нові, а тут кожен крок розписано.

  1. 1Функція за первісною
    Вибір А–Д
    Прототип: НМТ 2023 · зошит 2 · №11
    Якщо функція F(x)=−2x2−7 F(x) = -2x^{2} - 7 є однією з первісних функції f(x) f(x), то f(x)= f(x) =
    • А−23x3−7x-\dfrac{2}{3}x^{3} - 7x
    • Б−4x2-4x^{2}
    • В−4x-4x
    • Г−4x−7-4x - 7
    • Д−2x-2x
    F′(x)=f(x).F'(x) = f(x).
    Показати розв’язання
    1. 1
      f(x)=F′(x)=(−2x2−7)′=−4xf(x) = F'(x) = (-2x^{2} - 7)' = -4x
    Відповідь: В) −4x -4x
  2. 2Загальний вигляд первісних
    Вибір А–Д
    Укажіть загальний вигляд первісних для функції f(x)=x4. f(x) = x^{4}.
    • А14x4+C\dfrac{1}{4}x^{4} + C
    • Бx5+Cx^{5} + C
    • В4x3+C4x^{3} + C
    • Г15x5+C\dfrac{1}{5}x^{5} + C
    • Д15x5\dfrac{1}{5}x^{5}
    ∫xn dx=xn+1n+1+C.\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C.
    Показати розв’язання
    1. 1
      F(x)=x55+C=15x5+CF(x) = \dfrac{x^{5}}{5} + C = \dfrac{1}{5}x^{5} + C
    Відповідь: Г) 15x5+C \dfrac{1}{5}x^{5} + C
  3. 3Інтеграл після скорочення дробу
    Коротка відповідь
    Прототип: НМТ 2024 · зошит 1 · №19
    Обчисліть інтеграл ∫13x2+2x+1x+1 dx. \displaystyle\int_{1}^{3} \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}\,dx.
    Чисельник — повний квадрат, тож дріб скорочується.
    Показати розв’язання
    1. 1
      (x+1)2x+1=x+1\dfrac{(x + 1)^2}{x + 1} = x + 1
    2. 2
      (x+1)22∣13=16−42=6\left.\dfrac{(x + 1)^2}{2}\right|_{1}^{3} = \dfrac{16 - 4}{2} = 6
    Відповідь: 66