Многогранники. Призма. Паралелепіпед

Призма й паралелепіпед — найпростіші просторові тіла, і водночас саме з них починаються типові задачі НМТ зі стереометрії: об'єм коробки, площа поверхні, діагональ. Формул тут небагато, а плутанина зазвичай виникає в одному місці — між площею поверхні (скільки матеріалу піде на обгортку) та об'ємом (скільки всередину поміститься). Тримай цю різницю в голові, і тема стане механічною.

Многогранники

Многогранник — тіло, обмежене плоскими многокутниками (гранями). Сторони граней — ребра, а їхні кінці — вершини. Для опуклого многогранника виконується теорема Ейлера:

$В - Р + Г = 2,$

де $В$ — кількість вершин, $Р$ — ребер, $Г$ — граней.

Перевіримо теорему на кубі: у нього $8$ вершин, $12$ ребер і $6$ граней, отже $8 - 12 + 6 = 2$ . ✅ Для чотирикутної піраміди: $5$ вершин, $8$ ребер, $5$ граней — $5 - 8 + 5 = 2$ . Формула зручна саме тим, що дозволяє відновити третю величину, коли дві інші відомі.

Приклад 1 — теорема Ейлера

Опуклий многогранник має $12$ вершин і $18$ ребер. Скільки в нього граней?

Записуємо теорему: $В - Р + Г = 2$ ;
підставляємо: $12 - 18 + Г = 2$ ;
звідси $Г = 2 + 6 = 8$ .

Відповідь: $8$ граней.

Призма

Призма — многогранник, дві грані якого (основи) — рівні многокутники в паралельних площинах, а решта граней (бічні) — паралелограми. У прямій призмі бічні ребра перпендикулярні до основ, у правильній — основа є правильним многокутником.

Об'єм і бічна поверхня призми:

$V = S_{\text{осн}}\cdot h, \qquad S_{\text{бік}} = P_{\text{осн}}\cdot h,$

де $h$ — висота, $P_{\text{осн}}$ — периметр основи. Повна поверхня — $S = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бік}}$ .

Обидві формули легко запам'ятати через розгортку: бічна поверхня прямої призми — це один великий прямокутник, у якого одна сторона дорівнює периметру основи, а друга — висоті. Точно так само влаштована бічна поверхня циліндра, тільки там периметр основи — це довжина кола $2\pi R$ .

Приклад 2 — правильна трикутна призма

Основа правильної трикутної призми — рівносторонній трикутник зі стороною $4$ , висота призми — $10$ . Знайдемо об'єм і бічну поверхню.

Площа основи (рівносторонній трикутник): $S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ ;
об'єм: $V = 4\sqrt{3} \cdot 10 = 40\sqrt{3} \approx 69{,}3$ ;
периметр основи: $P = 3 \cdot 4 = 12$ ;
бічна поверхня: $S_{\text{бік}} = 12 \cdot 10 = 120$ .

Відповідь: $V = 40\sqrt{3}$ , $S_{\text{бік}} = 120$ .

Паралелепіпед

Паралелепіпед — призма, основа якої паралелограм (усі 6 граней — паралелограми). Найважливіший випадок — прямокутний паралелепіпед із вимірами $a, b, c$ :

$V = abc, \qquad S = 2(ab + bc + ca), \qquad d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}.$

Формула поверхні відображає будову коробки: у неї три пари однакових граней — по дві зі сторонами $a \times b$ , $b \times c$ і $c \times a$ . Звідси подвоєна сума трьох добутків.

Формула діагоналі — це теорема Піфагора, застосована двічі: спершу знаходимо діагональ основи $\sqrt{a^2 + b^2}$ , а потім разом із висотою $c$ дістаємо просторову діагональ.

Куб — частковий випадок

Куб — це прямокутний паралелепіпед із рівними вимірами ( $a=b=c$ ): $V=a^3$ , $S=6a^2$ , діагональ $d=a\sqrt3$ .

Приклад 3 — виміри коробки

Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють $2$ , $3$ і $6$ . Знайдемо об'єм, повну поверхню й діагональ.

Об'єм: $V = 2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$ ;
поверхня: $S = 2(2\cdot3 + 3\cdot6 + 6\cdot2) = 2(6 + 18 + 12) = 72$ ;
діагональ: $d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ .

Відповідь: $V = 36$ , $S = 72$ , $d = 7$ . Трійка $(2, 3, 6, 7)$ дає цілу діагональ — такі «зручні» набори часто беруть для задач НМТ.

Типові помилки

Плутають об'єм із площею поверхні. Об'єм вимірюється в кубічних одиницях (см³), поверхня — у квадратних (см²). Якщо одиниці не збігаються з питанням задачі, формулу взято не ту.
Забувають подвоєння у формулі поверхні. Граней шість, а не три.
Беруть діагональ основи замість просторової. Діагональ грані — це $\sqrt{a^2 + b^2}$ , а діагональ усього паралелепіпеда — $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ .
Застосовують $S_{\text{бік}} = P h$ до похилої призми. Ця формула справедлива для прямої призми, де бічні ребра перпендикулярні до основ.
Забувають додати дві основи в повній поверхні призми.

Многогранники. Призма. Паралелепіпед