Рівняння прямої та кола

Координатний метод дозволяє замінити геометричні міркування алгеброю: замість того щоб будувати й доводити, ти складаєш рівняння й розв'язуєш його. На НМТ від цієї теми найчастіше потрібні дві навички — прочитати параметри фігури з готового рівняння (центр, радіус, кутовий коефіцієнт) і скласти рівняння за заданими умовами.

Рівняння прямої

Пряму (невертикальну) задають рівнянням із кутовим коефіцієнтом:

$y = kx + b,$

де $k$ — кутовий коефіцієнт (тангенс кута нахилу до осі $Ox$ ), $b$ — ордината точки перетину з віссю $Oy$ . Порухай повзунки:

Обидва коефіцієнти мають наочний зміст. Число $b$ показує, де пряма перетинає вісь $Oy$ . Число $k$ задає нахил: при $k > 0$ пряма зростає, при $k < 0$ — спадає, при $k = 0$ вона горизонтальна. Що більший модуль $k$ , то крутіша пряма.

Звідси два корисні критерії: прямі паралельні, коли їхні кутові коефіцієнти рівні ( $k_1 = k_2$ ), і перпендикулярні, коли $k_1 \cdot k_2 = -1$ .

Кутовий коефіцієнт за двома точками $A(x_1;y_1)$ і $B(x_2;y_2)$ :

$k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad (x_1 \ne x_2).$

Щоб скласти рівняння прямої за двома точками, спершу знаходять $k$ , а потім $b$ — підставивши координати однієї з точок у $y = kx + b$ .

Приклад 1 — рівняння прямої за двома точками

Складемо рівняння прямої, що проходить через точки $A(1;\,3)$ і $B(4;\,9)$ .

Кутовий коефіцієнт: $k = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$ ;
підставляємо точку $A$ у $y = 2x + b$ : $3 = 2 \cdot 1 + b$ ;
звідси $b = 1$ .

Відповідь: $y = 2x + 1$ . Перевірка другою точкою: $2 \cdot 4 + 1 = 9$ ✅ — збігається з ординатою точки $B$ .

Порядок віднімання має бути однаковий

У формулі $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ обидві різниці беруть в однаковому порядку. Якщо в чисельнику відняти «друга мінус перша», а в знаменнику — навпаки, знак кутового коефіцієнта вийде протилежним.

Рівняння кола

Коло з центром $(a;\,b)$ і радіусом $R$ задають рівнянням:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2.$

Центр «читається» з дужок (з протилежним знаком), а радіус — це корінь із правої частини. Наприклад, $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 25$ — коло з центром $(3;-1)$ і радіусом $R = \sqrt{25} = 5$ .

Рівняння кола — це просто формула відстані: воно стверджує, що відстань від точки $(x;\,y)$ до центра $(a;\,b)$ дорівнює $R$ . Тому окремо його запам'ятовувати не треба — досить піднести формулу відстані до квадрата.

Якщо центр збігається з початком координат, рівняння спрощується до $x^2 + y^2 = R^2$ .

Приклад 2 — читаємо центр і радіус

Знайдемо центр і радіус кола $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49$ .

Порівнюємо із шаблоном $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ ;
з дужки $(x + 2)$ читаємо $a = -2$ — протилежний знак;
з дужки $(y - 5)$ читаємо $b = 5$ ;
радіус: $R = \sqrt{49} = 7$ .

Відповідь: центр $(-2;\,5)$ , радіус $7$ .

Належність точки колу

Щоб перевірити, чи лежить точка на колі, підстав її координати в ліву частину рівняння: якщо дістанеш $R^2$ — точка на колі, менше — всередині, більше — зовні.

Приклад 3 — де лежить точка

Чи належить точка $P(1;\,1)$ колу $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 16$ ?

Підставляємо координати в ліву частину: $(1 - 3)^2 + (1 - 1)^2$ ;
рахуємо: $4 + 0 = 4$ ;
порівнюємо з правою частиною: $4 < 16$ .

Відповідь: точка лежить усередині круга. Змістовно це означає, що відстань від неї до центра дорівнює $2$ , а радіус — $4$ .

Типові помилки

Беруть знак центра прямо з дужок. У записі $(x + 2)^2$ координата центра дорівнює $-2$ , бо шаблон містить мінус: $(x - a)^2$ .
Плутають $R$ і $R^2$ . У правій частині рівняння стоїть квадрат радіуса, тому радіус — це корінь із неї.
Забувають, що $k$ — це відношення приростів, а не самих координат. У чисельнику й знаменнику мають бути саме різниці.
Пробують знайти $k$ для вертикальної прямої. Якщо $x_1 = x_2$ , кутового коефіцієнта не існує; така пряма задається рівнянням $x = c$ .
Плутають умови паралельності й перпендикулярності. Рівність $k_1 = k_2$ — це паралельність, а $k_1 k_2 = -1$ — перпендикулярність.

Рівняння прямої та кола