Формули НМТ з математики

На НМТ з математики кожен учасник отримує довідкові матеріали: аркуш з основними формулами алгебри, тригонометрії й геометрії. Здається, що це знімає питання «що вчити напам'ять», але на практиці з довідником дві проблеми. По-перше, у ньому немає цілих розділів, які регулярно трапляються в завданнях: похідної, первісної, теореми Вієта, формул суми кутів, рівнянь прямої. По-друге, шукати формулу в аркуші під час іспиту — це втрачені хвилини, а 60 хвилин на 22 завдання і так мало.

Тому тут зібрано обидва набори в одних таблицях, згрупованих за розділами програми. Формули, позначені зірочкою ★, у довідкових матеріалах НМТ відсутні — їх доведеться знати напам'ять. Решту на іспиті можна підглянути, але краще розуміти, де саме на аркуші кожна з них і коли її застосовувати.

Під кожною таблицею — посилання на тему порталу, де формулу пояснено докладно: звідки вона береться, як нею користуватися і які помилки з нею роблять найчастіше. Там же — інтерактивні графіки й тренажер задач.

Алгебра

Формули скороченого множення


Різниця квадратів	$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Квадрат суми	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Квадрат різниці	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Куб суми ★	$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$
Куб різниці ★	$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3$
Сума кубів ★	$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Різниця кубів ★	$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Детальніше — тема «Степінь. Одночлени. Многочлени».

Модуль числа


Означення	$\lvert a \rvert = \begin{cases} a, & a \geq 0, \\ -a, & a < 0 \end{cases}$
Властивості ★	$\lvert a \rvert \geq 0, \quad \lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \cdot \lvert b \rvert, \quad \lvert a \rvert^2 = a^2$
Рівняння ★	$\lvert x \rvert = a,\ a > 0 \iff x = \pm a$
Нерівності ★	$\lvert x \rvert < a \iff -a < x < a; \quad \lvert x \rvert > a \iff x < -a \text{ або } x > a$

Детальніше — тема «Модуль числа. Рівняння та нерівності з модулем».

Квадратне рівняння


Загальний вигляд	$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$
Дискримінант	$D = b^2 - 4ac$
Корені, $D > 0$	$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
Один корінь, $D = 0$	$x = \dfrac{-b}{2a}$
$D < 0$	дійсних коренів немає
Розклад на множники	$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$
Теорема Вієта ★	$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$
Вершина параболи ★	$x_0 = -\dfrac{b}{2a}, \quad y_0 = y(x_0)$

Детальніше — теми «Квадратні рівняння. Теорема Вієта» і «Квадратична функція».

Відсотки ★


$p\%$ від числа $A$	$A \cdot \dfrac{p}{100}$
Збільшити $A$ на $p\%$	$A \cdot \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$
Зменшити $A$ на $p\%$	$A \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$
Складні відсотки ( $n$ разів)	$A_n = A \cdot \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^n$

Детальніше — тема «Відношення. Пропорція. Відсотки».

Степені, корені, логарифми

Степені


Натуральний показник	$a^1 = a, \quad a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n}$
Нульовий показник	$a^0 = 1, \quad a \neq 0$
Від'ємний показник	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \quad a \neq 0$
Дробовий показник	$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}, \quad a > 0$
Добуток степенів	$a^x \cdot a^y = a^{x + y}$
Частка степенів	$\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x - y}$
Степінь степеня	$(a^x)^y = a^{xy}$
Степінь добутку	$(ab)^x = a^x b^x$
Степінь частки	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^x = \dfrac{a^x}{b^x}$

Детальніше — тема «Степінь з раціональним показником. Степенева функція».

Корені


Корінь з квадрата	$\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert$
Корінь з добутку ★	$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \quad a, b \geq 0$
Корінь з частки ★	$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \quad a \geq 0,\ b > 0$
Степінь кореня ★	$\left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \sqrt[n]{a^k}$
Корінь з кореня ★	$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$
Корінь непарного степеня ★	$\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$

Детальніше — теми «Арифметичний квадратний корінь» і «Арифметичний корінь n-го степеня».

Логарифми


Умови	$a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0,\ c > 0,\ k \neq 0$
Основна тотожність	$a^{\log_a b} = b$
Окремі значення	$\log_a a = 1, \quad \log_a 1 = 0$
Логарифм добутку	$\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$
Логарифм частки	$\log_a \dfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$
Логарифм степеня	$\log_a b^n = n \log_a b$
Степінь в основі	$\log_{a^k} b = \dfrac{1}{k} \log_a b$
Перехід до нової основи ★	$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
Позначення ★	$\lg b = \log_{10} b, \quad \ln b = \log_e b$

Детальніше — тема «Логарифм. Логарифмічна функція».

Показникові й логарифмічні нерівності ★


$a > 1$ : знак зберігається	$a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$
$0 < a < 1$ : знак змінюється	$a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$
$\log_a f > \log_a g$ , $a > 1$	$f(x) > g(x) > 0$
$\log_a f > \log_a g$ , $0 < a < 1$	$0 < f(x) < g(x)$
ОДЗ логарифма	вираз під логарифмом $> 0$ , основа $> 0$ і $\neq 1$

Детальніше — теми «Показникова функція. Показникові рівняння і нерівності» і «Логарифмічна функція. Логарифмічні нерівності».

Тригонометрія

Основні співвідношення


Точка $M(x_\alpha;\ y_\alpha)$ одиничного кола	$\sin \alpha = y_\alpha, \quad \cos \alpha = x_\alpha$
Основна тотожність	$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
Тангенс	$\mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
Котангенс ★	$\mathrm{ctg}\, \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha = 1$
Через косинус	$1 + \mathrm{tg}^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}$
Через синус ★	$1 + \mathrm{ctg}^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha}$

Детальніше — теми «Тригонометричні функції. Градусна і радіанна міри» і «Тотожні перетворення тригонометричних виразів».

Подвійний кут і пониження степеня


Синус подвійного кута	$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
Косинус подвійного кута	$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$
Інші форми ★	$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$
Пониження степеня ★	$\cos^2 \alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}, \quad \sin^2 \alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}$

Детальніше — тема «Тотожні перетворення тригонометричних виразів».

Формули зведення


$90^\circ + \alpha$	$\sin = \cos \alpha, \quad \cos = -\sin \alpha, \quad \mathrm{tg} = -\dfrac{1}{\mathrm{tg}\, \alpha}$
$180^\circ - \alpha$	$\sin = \sin \alpha, \quad \cos = -\cos \alpha, \quad \mathrm{tg} = -\mathrm{tg}\, \alpha$
Парність ★	$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha, \quad \cos(-\alpha) = \cos \alpha$

Детальніше — тема «Тотожні перетворення тригонометричних виразів».

Формули додавання ★


Синус суми / різниці	$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
Косинус суми / різниці	$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

Детальніше — тема «Тотожні перетворення тригонометричних виразів».

Найпростіші рівняння ★


$\sin x = a,\ \lvert a \rvert \leq 1$	$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$
$\cos x = a,\ \lvert a \rvert \leq 1$	$x = \pm \arccos a + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$
$\mathrm{tg}\, x = a$	$x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$
$\sin x = 0$ / $1$ / $-1$	$x = \pi n$ / $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$ / $-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$
$\cos x = 0$ / $1$ / $-1$	$x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$ / $2\pi n$ / $\pi + 2\pi n$

Детальніше — тема «Тригонометричні рівняння».

Значення тригонометричних функцій

$\alpha$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$
град	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$180^\circ$	$270^\circ$	$360^\circ$
$\sin \alpha$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\mathrm{tg}\, \alpha$	$0$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	—	$0$	—	$0$

Детальніше — тема «Тригонометричні функції. Градусна і радіанна міри».

Похідна та інтеграл ★

Таблиця похідних ★


$C$ (стала)	$C' = 0$
$x^n$	$(x^n)' = n x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\dfrac{1}{x}$	$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$
$\sin x$	$(\sin x)' = \cos x$
$\cos x$	$(\cos x)' = -\sin x$
$\mathrm{tg}\, x$	$(\mathrm{tg}\, x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
$e^x$	$(e^x)' = e^x$
$a^x$	$(a^x)' = a^x \ln a$
$\ln x$	$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
$\log_a x$	$(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$

Детальніше — тема «Похідна: означення, таблиця, правила».

Правила диференціювання ★


Сума	$(u \pm v)' = u' \pm v'$
Сталий множник	$(Cu)' = C u'$
Добуток	$(uv)' = u'v + uv'$
Частка	$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
Складена функція	$\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Детальніше — тема «Похідна: означення, таблиця, правила».

Застосування похідної ★


Дотична в точці $x_0$	$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
Кутовий коефіцієнт дотичної	$k = \mathrm{tg}\, \alpha = f'(x_0)$
Швидкість і прискорення	$v(t) = s'(t), \quad a(t) = v'(t)$
Зростання / спадання	$f'(x) > 0$ — зростає, $f'(x) < 0$ — спадає
Екстремум	$f'(x_0) = 0$ і похідна змінює знак

Детальніше — теми «Похідна: означення, таблиця, правила» і «Монотонність та екстремуми функції за допомогою похідної».

Таблиця первісних ★


$k$ (стала)	$kx + C$
$x^n,\ n \neq -1$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln \lvert x \rvert + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\mathrm{tg}\, x + C$
$e^x$	$e^x + C$

Детальніше — тема «Первісна та визначений інтеграл».

Визначений інтеграл ★


Формула Ньютона–Лейбніца	$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
Площа під графіком $f \geq 0$	$S = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$
Площа між графіками $f \geq g$	$S = \displaystyle\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx$

Детальніше — тема «Первісна та визначений інтеграл».

Послідовності, ймовірність, статистика

Арифметична прогресія


$n$ -й член	$a_n = a_1 + d(n - 1)$
Сума $n$ членів	$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Сума через $d$ ★	$S_n = \dfrac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$
Характеристична властивість ★	$a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Детальніше — тема «Числові послідовності».

Геометрична прогресія


$n$ -й член	$b_n = b_1 \cdot q^{n - 1}$
Сума $n$ членів, $q \neq 1$	$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Характеристична властивість ★	$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$
Нескінченно спадна, $\lvert q \rvert < 1$ ★	$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$

Детальніше — тема «Числові послідовності».

Комбінаторика


Перестановки	$P_n = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n = n!$
Комбінації (порядок не важливий)	$C_n^k = \dfrac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$
Розміщення (порядок важливий)	$A_n^k = \dfrac{n!}{(n - k)!}$
Правило добутку ★	$m$ способів і $n$ способів — разом $m \cdot n$

Детальніше — тема «Елементи комбінаторики, ймовірності та статистики».

Ймовірність


Класична ймовірність	$P(A) = \dfrac{k}{n}$ ( $k$ сприятливих з $n$ рівноможливих)
Протилежна подія ★	$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
Межі ★	$0 \leq P(A) \leq 1$

Детальніше — тема «Елементи комбінаторики, ймовірності та статистики».

Статистика ★


Середнє арифметичне	$\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$
Медіана	середнє значення впорядкованого ряду (для парного $n$ — півсума двох середніх)
Мода	значення, що трапляється найчастіше
Розмах	різниця найбільшого й найменшого значень

Детальніше — теми «Елементи комбінаторики, ймовірності та статистики» і «Аналіз даних (графіки й діаграми)».

Планіметрія

Довільний трикутник


Позначення	сторони $a, b, c$ ; протилежні кути $\alpha, \beta, \gamma$
Сума кутів	$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
Півпериметр	$p = \dfrac{a + b + c}{2}$
Теорема косинусів	$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$
Теорема синусів	$\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma} = 2R$
Площа через висоту	$S = \dfrac{1}{2} a h_a$
Площа через кут	$S = \dfrac{1}{2} bc \sin \alpha$
Формула Герона	$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$
Радіус вписаного кола ★	$r = \dfrac{S}{p}$
Радіус описаного кола ★	$R = \dfrac{abc}{4S}$

Детальніше — теми «Трикутники та їх властивості» і «Теорема косинусів. Теорема синусів».

Прямокутний трикутник


Теорема Піфагора	$a^2 + b^2 = c^2$
Гострий кут $\alpha$ проти катета $a$	$\sin \alpha = \dfrac{a}{c}, \quad \cos \alpha = \dfrac{b}{c}, \quad \mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{a}{b}$
Площа ★	$S = \dfrac{1}{2} ab$
Радіуси ★	$R = \dfrac{c}{2}, \quad r = \dfrac{a + b - c}{2}$

Детальніше — тема «Прямокутний трикутник».

Рівносторонній трикутник ★


Висота	$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Площа	$S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Радіуси	$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}, \quad R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

Детальніше — тема «Трикутники та їх властивості».

Чотирикутники


Паралелограм	$S = a h_a, \quad S = ab \sin \gamma$
Прямокутник	$S = ab$
Квадрат ★	$S = a^2 = \dfrac{d^2}{2}$
Ромб	$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2$
Трапеція	$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$
Середня лінія трапеції ★	$m = \dfrac{a + b}{2}$

Детальніше — теми «Чотирикутники та їх властивості» і «Ромб. Квадрат. Трапеція».

Многокутники ★


Сума кутів $n\text{-кутника}$	$180^\circ (n - 2)$
Кут правильного $n\text{-кутника}$	$\dfrac{180^\circ (n - 2)}{n}$

Детальніше — тема «Многокутники».

Коло і круг


Довжина кола	$L = 2\pi R$
Площа круга	$S = \pi R^2$
Довжина дуги ★	$l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}$
Площа сектора ★	$S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$

Детальніше — тема «Коло і круг».

Подібність ★


Коефіцієнт подібності $k$	периметри — як $k$ , площі — як $k^2$ , об'єми — як $k^3$

Детальніше — тема «Подібність трикутників».

Стереометрія, координати й вектори

Многогранники


Пряма призма	$V = S_{\text{осн}} \cdot H, \quad S_{\text{б}} = P_{\text{осн}} \cdot H$
Правильна піраміда, апофема $m$	$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H, \quad S_{\text{б}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot m$
Прямокутний паралелепіпед ★	$V = abc, \quad d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
Куб ★	$V = a^3, \quad d = a\sqrt{3}$
Повна поверхня ★	$S_{\text{п}} = S_{\text{б}} + 2S_{\text{осн}}$ (призма), $S_{\text{б}} + S_{\text{осн}}$ (піраміда)

Детальніше — теми «Многогранники. Призма. Паралелепіпед» і «Піраміда».

Тіла обертання


Циліндр	$V = \pi R^2 H, \quad S_{\text{б}} = 2\pi R H$
Повна поверхня циліндра ★	$S_{\text{п}} = 2\pi R H + 2\pi R^2$
Конус, твірна $L$	$V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 H, \quad S_{\text{б}} = \pi R L$
Повна поверхня конуса ★	$S_{\text{п}} = \pi R L + \pi R^2$
Куля	$V = \dfrac{4}{3} \pi R^3$
Сфера	$S = 4\pi R^2$

Детальніше — теми «Тіла і поверхні обертання. Циліндр» і «Конус. Куля. Сфера».

Координати на площині


Відстань між точками ★	$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Середина відрізка ★	$x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_0 = \dfrac{y_1 + y_2}{2}$
Рівняння кола	$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$
Рівняння прямої ★	$y = kx + b, \quad k = \mathrm{tg}\, \alpha$
Паралельні / перпендикулярні прямі ★	$k_1 = k_2$ / $k_1 \cdot k_2 = -1$

Детальніше — теми «Координати і вектори на площині» і «Рівняння прямої та кола».

Координати у просторі


Середина відрізка $AB$	$x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \ y_0 = \dfrac{y_1 + y_2}{2}, \ z_0 = \dfrac{z_1 + z_2}{2}$
Координати вектора	$\overrightarrow{AB}\,(x_2 - x_1;\ y_2 - y_1;\ z_2 - z_1)$
Довжина відрізка	$\lvert AB \rvert = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Детальніше — тема «Координати і вектори у просторі».

Вектори


Скалярний добуток	$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$
Через кут між векторами	$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \cdot \lvert \vec{b} \rvert \cos \varphi$
Довжина вектора ★	$\lvert \vec{a} \rvert = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
Перпендикулярність ★	$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
Колінеарність ★	$\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \dfrac{a_3}{b_3}$

Детальніше — теми «Координати і вектори у просторі» і «Координати і вектори на площині».

Як запам'ятати й не переплутати

Не вчіть усе підряд: багато формул із зірочкою виводяться з довідника за пів хвилини. Наприклад, $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ — це $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ , де $\cos^2 \alpha$ замінено на $1 - \sin^2 \alpha$ . Розв'язки $\sin x = 0$ чи $\cos x = 1$ легко побачити на одиничному колі, а знак похідної перевірити на простій функції на кшталт $x^2$ . Найнадійніший спосіб запам'ятати формулу — кілька разів застосувати її в задачах: для цього в кожній темі є тренажер і пробний тест у форматі НМТ.