Арифметичний квадратний корінь

Квадратний корінь — перша операція в курсі, яка виводить за межі раціональних чисел: $\sqrt{2}$ не можна записати жодним дробом. На НМТ корені трапляються всюди — у геометрії (теорема Піфагора), у квадратних рівняннях, у тригонометрії. Тому впевнене володіння перетвореннями з коренями економить час у половині завдань.

Означення

Арифметичним квадратним коренем із невід'ємного числа $a$ називають таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює $a$ :

$\sqrt{a} = b \iff b^2 = a, \quad b \ge 0, \ a \ge 0.$

Наприклад, $\sqrt{25} = 5$ , бо $5^2 = 25$ . Під коренем не може стояти від'ємне число.

Слово арифметичний тут ключове. Рівняння $x^2 = 25$ має два корені, $5$ і $-5$ , а от запис $\sqrt{25}$ позначає лише невід'ємне значення — тобто $5$ . Це домовленість, яка робить корінь однозначною операцією; саме через неї в розв'язку рівняння доводиться писати $x = \pm\sqrt{25}$ окремо.

Геометрично $\sqrt{a}$ — це сторона квадрата площею $a$ . Порухай повзунок:

Властивості

Для $a \ge 0$ , $b \ge 0$ :

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \qquad \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ (b > 0).$

Зверни увагу, чого в цьому списку немає: кореня із суми. Вираз $\sqrt{a + b}$ не дорівнює $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Перевірка на числах: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , тоді як $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ . Корінь «дружить» лише з множенням і діленням.

Особливо важлива тотожність із модулем:

$\sqrt{a^2} = |a|.$

Не забувай про модуль

$\sqrt{a^2} = |a|$ , а не просто $a$ . Наприклад, $\sqrt{(-6)^2} = |-6| = 6$ , а не $-6$ .

Логіка проста: корінь за означенням невід'ємний, а $a$ може бути від'ємним. Модуль і «виправляє» знак. Якщо ж з умови відомо, що $a \ge 0$ , модуль можна зняти: $\sqrt{a^2} = a$ .

Винесення множника з-під кореня

Якщо під коренем є квадратний множник, його виносять назовні:

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}.$

Обери число й простеж розкладку:

Як шукати

Знайди найбільший квадратний дільник числа під коренем ( $4, 9, 16, 25, 36, \dots$ ) і винеси його корінь назовні.

Якщо найбільший квадратний дільник знайти не вдається одразу, розкладай поступово: $\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ . Результат той самий, просто кроків більше.

Приклад 1 — дії з коренями

Спростимо вираз $\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8}$ .

Виносимо множники: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ ;
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ ;
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ ;
тепер усі доданки містять $\sqrt{2}$ — зводимо подібні: $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ .

Відповідь: $6\sqrt{2}$ . Ключова ідея: додавати корені можна лише тоді, коли підкореневі вирази однакові — тоді $\sqrt{2}$ поводиться як звичайна змінна.

Звільнення від ірраціональності

Щоб прибрати корінь зі знаменника, множать чисельник і знаменник на цей корінь:

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Прийом ґрунтується на основній властивості дробу: множимо на $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ , тобто на одиницю, тому значення не змінюється. У знаменнику ж корінь зникає, бо $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2$ .

Якщо в знаменнику стоїть сума з коренем, множать на спряжений вираз — той самий, але з протилежним знаком:

$\dfrac{1}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{3 - \sqrt{2}}{(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})} = \dfrac{3 - \sqrt{2}}{9 - 2} = \dfrac{3 - \sqrt{2}}{7}.$

Приклад 2 — корінь із квадрата

Обчислимо $\sqrt{(3 - \pi)^2}$ .

За тотожністю $\sqrt{a^2} = |a|$ маємо $|3 - \pi|$ ;
оскільки $\pi \approx 3{,}14 > 3$ , вираз $3 - \pi$ від'ємний;
модуль від'ємного числа змінює знак: $|3 - \pi| = \pi - 3$ .

Відповідь: $\pi - 3$ . Механічне «скорочення» кореня й квадрата дало б хибну від'ємну відповідь $3 - \pi$ .

Типові помилки

Забувають модуль у $\sqrt{a^2}$ . Особливо коли під коренем стоїть вираз, знак якого невідомий.
Розбивають корінь із суми. $\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ .
Додають корені з різними підкореневими виразами. $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ спростити не можна.
Виносять не найбільший квадратний множник і зупиняються на півдорозі: $\sqrt{72} = 2\sqrt{18}$ — це ще не кінець.
Вважають, що $\sqrt{a}$ може бути від'ємним. Арифметичний корінь завжди $\ge 0$ .

Перевір себе

Порада щодо вводу

Корінь можна вводити як sqrt(2) або символом √2. Множник перед коренем — через зірочку або без: 5*sqrt(2) = 5√2. Перевірка приймає будь-який рівний за значенням запис.