Чотирикутники, їх види та властивості

Чотирикутники на НМТ трапляються частіше за будь-яку іншу геометричну фігуру — і в задачах на обчислення, і в завданнях на встановлення відповідності. Причина в тому, що види чотирикутників утворюють чітку ієрархію: властивості паралелограма автоматично працюють у прямокутнику, ромбі й квадраті. Якщо вивчити цю ієрархію один раз, більшість задач розв'язується коротким ланцюжком міркувань замість заучування десятків окремих фактів.

Чотирикутник і сума його кутів

Чотирикутник має чотири вершини, чотири сторони й чотири кути. Сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює

$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°.$

Задай три кути — четвертий обчислиться:

Звідки береться $360°$? Будь-який чотирикутник діагоналлю розрізається на два трикутники, а сума кутів кожного з них — $180°$. Разом: $2 \cdot 180° = 360°$. Той самий прийом працює для будь-якого многокутника.

Паралелограм

Паралелограм — чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Його властивості:

• протилежні сторони рівні;
• протилежні кути рівні;
• сусідні кути в сумі дають $180°$;
• діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Периметр: $P = 2(a + b)$.

Властивість про сусідні кути випливає з паралельності: сторони $AD$ і $BC$ паралельні, а $AB$ — січна, тому кути $A$ і $B$ — односторонні, а їхня сума дорівнює $180°$. Ось чому в паралелограмі достатньо знати один кут, щоб знайти всі чотири.

Прямокутник

Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі. Додаткова властивість: діагоналі рівні.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні й діляться навпіл, точка їх перетину однаково віддалена від усіх чотирьох вершин. Тобто вона є центром описаного кола, а діагональ — його діаметром. Це часто дає ключ до задач про прямокутник, вписаний у коло.

Діагональ прямокутника знаходять за теоремою Піфагора: вона є гіпотенузою прямокутного трикутника, утвореного двома сторонами:

$d = \sqrt{a^2 + b^2}.$

Ієрархія видів

Ієрархію зручно читати згори вниз: кожен наступний вид успадковує всі властивості попереднього й додає свої.

Практичний висновок: якщо в задачі сказано «діагоналі рівні», йдеться про прямокутник (або квадрат); якщо «діагоналі перпендикулярні» — про ромб (або квадрат).

Типові помилки

• Вважають, що трапеція — окремий випадок паралелограма. У трапеції паралельна лише одна пара сторін; якби паралельні були обидві, це вже був би паралелограм.
• Плутають «сусідні кути рівні» із «сусідні кути в сумі $180°$». У паралелограмі рівні саме протилежні кути.
• Застосовують властивість рівних діагоналей до довільного паралелограма. Діагоналі рівні лише в прямокутнику та квадраті.
• Рахують периметр як суму двох сторін. У формулі $P = 2(a + b)$ множник $2$ обов'язковий — сторін чотири.
• Забувають, що діагональ ділить чотирикутник на два трикутники. Це найшвидший шлях до розв'язання, коли прямої формули немає.

Перевір себе