НМТ Математика

Чотирикутники, їх види та властивості

Чотирикутники на НМТ трапляються частіше за будь-яку іншу геометричну фігуру — і в задачах на обчислення, і в завданнях на встановлення відповідності. Причина в тому, що види чотирикутників утворюють чітку ієрархію: властивості паралелограма автоматично працюють у прямокутнику, ромбі й квадраті. Якщо вивчити цю ієрархію один раз, більшість задач розв'язується коротким ланцюжком міркувань замість заучування десятків окремих фактів.

Чотирикутник і сума його кутів

Чотирикутник має чотири вершини, чотири сторони й чотири кути. Сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює

α+β+γ+δ=360°.\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°.

Задай три кути — четвертий обчислиться:

Звідки береться 360°360°? Будь-який чотирикутник діагоналлю розрізається на два трикутники, а сума кутів кожного з них — 180°180°. Разом: 2⋅180°=360°2 \cdot 180° = 360°. Той самий прийом працює для будь-якого многокутника.

Приклад 1 — четвертий кут

Три кути чотирикутника дорівнюють 70°70°, 95°95° і 115°115°. Знайдемо четвертий.

  1. Сума всіх чотирьох кутів дорівнює 360°360°;
  2. додаємо відомі: 70+95+115=28070 + 95 + 115 = 280;
  3. віднімаємо від повної суми: 360−280=80360 - 280 = 80.

Відповідь: 80°80°.

Паралелограм

Паралелограм — чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Його властивості:

  • протилежні сторони рівні;
  • протилежні кути рівні;
  • сусідні кути в сумі дають 180°180°;
  • діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Периметр: P=2(a+b)P = 2(a + b).

Властивість про сусідні кути випливає з паралельності: сторони ADAD і BCBC паралельні, а ABAB — січна, тому кути AA і BB — односторонні, а їхня сума дорівнює 180°180°. Ось чому в паралелограмі достатньо знати один кут, щоб знайти всі чотири.

Приклад 2 — кути й периметр паралелограма

У паралелограмі один із кутів дорівнює 110°110°, а сторони — 55 і 88. Знайдемо решту кутів і периметр.

  1. Протилежний кут рівний даному: теж 110°110°;
  2. сусідній кут доповнює його до 180°180°: 180°−110°=70°180° - 110° = 70°;
  3. четвертий кут дорівнює третьому: 70°70°;
  4. периметр: P=2(5+8)=26P = 2(5 + 8) = 26.

Відповідь: кути 110°110°, 70°70°, 110°110°, 70°70°; периметр 2626.

Прямокутник

Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі. Додаткова властивість: діагоналі рівні.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні й діляться навпіл, точка їх перетину однаково віддалена від усіх чотирьох вершин. Тобто вона є центром описаного кола, а діагональ — його діаметром. Це часто дає ключ до задач про прямокутник, вписаний у коло.

Діагональ прямокутника знаходять за теоремою Піфагора: вона є гіпотенузою прямокутного трикутника, утвореного двома сторонами:

d=a2+b2.d = \sqrt{a^2 + b^2}.

Ієрархія видів

Як усе пов'язано

Прямокутник, ромб і квадрат — окремі випадки паралелограма. Квадрат — це одночасно прямокутник і ромб. Трапеція має лише одну пару паралельних сторін, тож паралелограмом не є.

Ієрархію зручно читати згори вниз: кожен наступний вид успадковує всі властивості попереднього й додає свої.

ФігураЩо додає до паралелограма
Паралелограмсторони й кути попарно рівні, діагоналі діляться навпіл
Прямокутникусі кути прямі, діагоналі рівні
Ромбусі сторони рівні, діагоналі перпендикулярні й бісектриси кутів
Квадратусе разом: і рівні діагоналі, і перпендикулярні

Практичний висновок: якщо в задачі сказано «діагоналі рівні», йдеться про прямокутник (або квадрат); якщо «діагоналі перпендикулярні» — про ромб (або квадрат).

Напрям висновку має значення

Кожен квадрат — прямокутник, але не кожен прямокутник — квадрат. Формулювання «усі властивості ромба виконуються в квадраті» правильне, а зворотне — ні. У завданнях на встановлення відповідності саме на цьому й будують пастку.

Типові помилки

  • Вважають, що трапеція — окремий випадок паралелограма. У трапеції паралельна лише одна пара сторін; якби паралельні були обидві, це вже був би паралелограм.
  • Плутають «сусідні кути рівні» із «сусідні кути в сумі 180°180°». У паралелограмі рівні саме протилежні кути.
  • Застосовують властивість рівних діагоналей до довільного паралелограма. Діагоналі рівні лише в прямокутнику та квадраті.
  • Рахують периметр як суму двох сторін. У формулі P=2(a+b)P = 2(a + b) множник 22 обов'язковий — сторін чотири.
  • Забувають, що діагональ ділить чотирикутник на два трикутники. Це найшвидший шлях до розв'язання, коли прямої формули немає.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Кути й периметр — одним числом (без «°»). Для виду чотирикутника натисни варіант.

Завдання формату НМТ

Завдання в тому вигляді, як їх дають на національному мультипредметному тесті: вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), установлення відповідності та коротка відповідь десятковим дробом. Там, де є позначка «Прототип», задачу побудовано за типом реального завдання НМТ минулих років; числа в умові щоразу нові.

  • Кут паралелограма через діагональ

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2025 · зошит 2 · №2

  • Площа прямокутника за кутом між діагоналями

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2023 · зошит 2 · №13

  • Площа паралелограма з кутом 30°

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2023 · зошит 1 · №13

  • Правильні твердження про паралелограм

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2024 · зошит 1 · №10

  • Відповідність: квадрат і прямокутник

    Відповідність · Прототип: НМТ 2025 · зошит 1 · №18

  • Бісектриса кута паралелограма

    Коротка відповідь

Приклади розв’язання завдань НМТ

Так розв’язують завдання формату НМТ із цієї теми — по одному прикладу на кожен формат: вибір відповіді, відповідність, коротка відповідь. У розділі «Завдання формату НМТ» числа щоразу нові, а тут кожен крок розписано.

  1. 1Кут паралелограма через діагональ
    Вибір А–Д
    Прототип: НМТ 2025 · зошит 2 · №2
    У паралелограмі ABCD ABCD проведено діагональ AC AC, ∠BAC=31∘, ∠CAD=38∘. \angle BAC = 31^\circ,\ \angle CAD = 38^\circ. Визначте градусну міру гострого кута паралелограма.
    • А111∘111^\circ
    • Б31∘31^\circ
    • В7∘7^\circ
    • Г38∘38^\circ
    • Д69∘69^\circ
    ∠A=∠BAC+∠CAD\angle A = \angle BAC + \angle CAD; сусідні кути паралелограма в сумі дають 180∘. 180^\circ.
    Показати розв’язання
    1. 1
      ∠A=69∘\angle A = 69^\circ
    Відповідь: Д) 69∘ 69^\circ
  2. 2Відповідність: квадрат і прямокутник
    Відповідність
    Прототип: НМТ 2025 · зошит 1 · №18
    Прямокутник ABKM ABKM складається з квадрата ABCD ABCD і прямокутника CKMD. CKMD. Периметр квадрата дорівнює 32 32 см, а довжина відрізка CM CM — 10 10 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    А33 см
    Б1010 см
    В2828 см
    Г88 см
    Д66 см
    • 1.Відстань між центром квадрата ABCD ABCD і точкою перетину діагоналей прямокутника ABKM ABKM дорівнює
    • 2.Довжина відрізка CK CK дорівнює
    • 3.Сторона квадрата ABCD ABCD дорівнює
    У прямокутнику CKMD CD CKMD\ CD — сторона квадрата, CM CM — діагональ.
    Показати розв’язання
    1. 1
      1 — А: CK2=3 \dfrac{CK}{2} = 3
    2. 2
      2 — Д: 102−82=6 \sqrt{10^2 - 8^2} = 6
    3. 3
      3 — Г: 32:4=8 32 : 4 = 8
    Відповідь:
    • 1 — А: Відстань між центром квадрата ABCD ABCD і точкою перетину діагоналей прямокутника ABKM ABKM дорівнює  →  3 \;\to\; 3 см
    • 2 — Д: Довжина відрізка CK CK дорівнює  →  6 \;\to\; 6 см
    • 3 — Г: Сторона квадрата ABCD ABCD дорівнює  →  8 \;\to\; 8 см
  3. 3Бісектриса кута паралелограма
    Коротка відповідь
    Бісектриса кута A A паралелограма ABCD ABCD перетинає сторону BC BC у точці K K, BK=5, KC=5. BK = 5,\ KC = 5. Знайдіть периметр паралелограма.
    Бісектриса відтинає від паралелограма рівнобедрений трикутник: AB=BK. AB = BK.
    Показати розв’язання
    1. 1
      AB=BK=5AB = BK = 5
    2. 2
      AD=BC=10AD = BC = 10
    3. 3
      P=2(5+10)=30P = 2(5 + 10) = 30
    Відповідь: 3030