Подібність трикутників

Подібність — це інструмент, який дозволяє вимірювати недосяжне: висоту дерева за довжиною його тіні, ширину річки з одного берега, відстань до недоступної точки. Ідея всюди та сама: побудувати маленький трикутник, подібний до великого, виміряти доступні сторони й перенести пропорцію. На НМТ ця тема з'являється і як окрема задача, і як прихований крок — щоразу, коли в умові є паралельні прямі або спільний кут.

Що таке подібні трикутники

Два трикутники подібні, якщо їхні відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні. Коефіцієнт пропорційності $k$ — це коефіцієнт подібності:

$\dfrac{a'}{a} = \dfrac{b'}{b} = \dfrac{c'}{c} = k.$

Подібні трикутники мають однакову форму, але різний розмір.

Ключове слово тут — відповідні. Сторони зіставляють не за порядком запису, а за положенням: проти рівних кутів. Тому перед складанням пропорції варто виписати відповідність вершин, наприклад $A \leftrightarrow A'$, $B \leftrightarrow B'$, $C \leftrightarrow C'$, і лише потім записувати відношення.

Ознаки подібності

Трикутники подібні, якщо виконується будь-яка з умов:

1. За двома кутами — два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого.
2. За двома сторонами й кутом між ними — дві сторони пропорційні, а кути між ними рівні.
3. За трьома сторонами — усі три пари сторін пропорційні.

На практиці майже завжди працює перша ознака — вона найдешевша: досить знайти дві пари рівних кутів. А рівні кути найчастіше беруться з двох джерел: спільний кут двох трикутників і рівні кути при паралельних прямих. Саме тому пряма, паралельна стороні трикутника, автоматично відтинає трикутник, подібний до вихідного.

Відношення периметрів і площ

Це ключова властивість для задач:

$\dfrac{P'}{P} = k, \qquad \dfrac{S'}{S} = k^2.$

Периметри відносяться як $k$ (лінійна величина), а площі — як $k^2$ (квадрат коефіцієнта).

Причина видна з формули площі: площа — це добуток двох лінійних розмірів (скажімо, основи на висоту). Якщо кожен із них зросте в $k$ разів, добуток зросте в $k \cdot k$ разів. Тому будь-яка величина, що вимірюється в одиницях довжини (сторона, периметр, медіана, радіус вписаного кола), масштабується як $k$, а будь-яка площа — як $k^2$.

Приклад

Трикутники подібні з $k = 2$. Якщо площа меншого дорівнює $5$, то площа більшого — $k^2\cdot 5 = 4\cdot 5 = 20$ (а не $10$).

Типові помилки

• Множать сторони на відношення площ. Щоб перейти від площ до довжин, з відношення площ треба спершу добути корінь.
• Складають пропорцію не для відповідних сторін. Порядок вершин у записі подібності не випадковий: $\triangle ABC \sim \triangle MNK$ означає, що $A$ відповідає $M$, $B$ — $N$, $C$ — $K$.
• Плутають подібність із рівністю. Рівні трикутники — це окремий випадок подібних із $k = 1$. Подібність не дає рівності сторін.
• Беруть коефіцієнт «навпаки». Якщо $k = \dfrac{a'}{a}$, то більший трикутник дістають множенням на $k$, а менший — діленням. Корисна перевірка здоровим глуздом: відповідь для більшого трикутника має бути більшою.
• Вважають подібними трикутники з двома пропорційними сторонами без рівності кута між ними. Друга ознака вимагає саме кута між цими сторонами.

Перевір себе