Види чисел

Числа в математиці утворюють вкладені множини: кожна наступна розширює попередню.

Кожне розширення виникало з практичної потреби. Натуральних вистачало, щоб лічити; цілих — щоб віднімати більше від меншого; раціональних — щоб ділити. А коли виявилося, що діагональ одиничного квадрата не виражається жодним дробом, довелося ввести ірраціональні числа. На НМТ цю тему перевіряють переважно завданнями на класифікацію: до якої множини належить те чи інше число.

Натуральні числа ℕ

Натуральні числа — це числа, якими лічать предмети: $1, 2, 3, 4, \dots$ Множину натуральних чисел позначають $\mathbb{N}$ . Нуль до натуральних зазвичай не відносять.

Цілі числа ℤ

Цілі числа $\mathbb{Z}$ — це натуральні, протилежні до них (від'ємні) та нуль:

$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$

Отже, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ : кожне натуральне число є цілим.

Раціональні числа ℚ

Раціональне число можна подати у вигляді звичайного дробу $\dfrac{m}{n}$ , де $m \in \mathbb{Z}$ , $n \in \mathbb{N}$ . До раціональних належать усі цілі (бо $5 = \tfrac{5}{1}$ ), звичайні дроби й скінченні та періодичні десяткові дроби.

Десятковий запис

Раціональне число у десятковому записі або скінченне ( $\tfrac{1}{4} = 0{,}25$ ), або нескінченне періодичне ( $\tfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ ). Покрути приклади на числовій прямій нижче.

Періодичний дріб завжди можна перетворити назад у звичайний — саме тому він раціональний. Наприклад, $0{,}(3) = \dfrac{1}{3}$ , а $0{,}(27) = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$ . Загальне правило для чистого періоду: у чисельник іде період, у знаменник — стільки дев'яток, скільки цифр у періоді.

Ірраціональні та дійсні числа ℝ

Ірраціональні числа не можна подати звичайним дробом — їхній десятковий запис нескінченний і неперіодичний. Приклади: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\pi$ .

Разом раціональні й ірраціональні утворюють множину дійсних чисел $\mathbb{R}$ . Виходить ланцюжок вкладень:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.$

Обери число й простеж, до яких множин воно належить:

Уважно з коренями

$\sqrt{n}$ ірраціональне лише тоді, коли $n$ — не повний квадрат. Наприклад, $\sqrt{9} = 3$ — натуральне, а $\sqrt{2}$ — ірраціональне.

Ще одна пастка — вирази, у яких ірраціональність «скорочується». Число $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2$ раціональне, хоча складене з ірраціональних множників. Так само $(1+\sqrt{3}) + (1-\sqrt{3}) = 2$ . Тому дивитися треба не на запис, а на значення виразу.

Приклад 1 — класифікація чисел

Визначимо, до яких множин належать числа $\sqrt{16}$ , $-\dfrac{7}{2}$ , $0{,}(6)$ , $\pi - \pi$ і $\sqrt{5}$ .

$\sqrt{16} = 4$ — натуральне, а отже й ціле, раціональне, дійсне;
$-\dfrac{7}{2} = -3{,}5$ — раціональне (і дійсне), але не ціле;
$0{,}(6) = \dfrac{2}{3}$ — періодичний дріб, тобто раціональне;
$\pi - \pi = 0$ — ціле й раціональне, попри те що складене з ірраціональних чисел;
$\sqrt{5}$ — $5$ не є повним квадратом, отже число ірраціональне.

Ірраціональне тут лише останнє.

Подільність

Ціле $a$ ділиться на ціле $b \neq 0$ , якщо $a = b \cdot k$ для деякого цілого $k$ . Корисні ознаки подільності:

на 2 — якщо остання цифра парна;
на 5 — якщо остання цифра 0 або 5;
на 3 — якщо сума цифр кратна 3;
на 9 — якщо сума цифр кратна 9.
на 10 — якщо остання цифра нуль;
на 4 — якщо число з двох останніх цифр ділиться на $4$ ;
на 6 — якщо число ділиться і на $2$ , і на $3$ одночасно.

НСД (найбільший спільний дільник) і НСК (найменше спільне кратне) двох чисел допомагають скорочувати дроби та зводити їх до спільного знаменника.

Надійний спосіб знайти обидва — розклад на прості множники. Для НСД беруть спільні множники з найменшими показниками, для НСК — усі множники з найбільшими. Корисно пам'ятати й зв'язок між ними: $\text{НСД}(a,b)\cdot\text{НСК}(a,b) = a\cdot b$ .

Приклад 2 — НСД і НСК

Знайдемо НСД і НСК чисел $24$ і $36$ .

Розкладаємо на прості множники: $24 = 2^3 \cdot 3$ , $36 = 2^2 \cdot 3^2$ ;
НСД — спільні множники з найменшими показниками: $2^2 \cdot 3 = 12$ ;
НСК — усі множники з найбільшими показниками: $2^3 \cdot 3^2 = 72$ .

Перевірка за зв'язком: $12 \cdot 72 = 864$ і $24 \cdot 36 = 864$ ✅.

Типові помилки

Вважають нуль натуральним числом. У шкільній програмі $0 \notin \mathbb{N}$ , але $0 \in \mathbb{Z}$ .
Вважають будь-який корінь ірраціональним. $\sqrt{36} = 6$ — натуральне число.
Плутають нескінченний дріб з ірраціональним. Ірраціональні лише неперіодичні нескінченні дроби.
Забувають, що ціле є раціональним. Множини вкладені, тому число $5$ належить одразу до $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ і $\mathbb{R}$ .
Плутають НСД і НСК. НСД не перевищує менше з чисел, НСК не менше за більше — це швидка перевірка відповіді.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Для задач із вибором натисни потрібний варіант. Для числових — введи число (десяткові через крапку або кому, напр. 0.25).