Арифметичний корінь n-го степеня

Корінь $n$ -го степеня узагальнює квадратний корінь, і майже всі його властивості збігаються з уже знайомими. Але з'являється одна принципова відмінність, від якої залежить половина завдань теми: парність показника. При парному $n$ поводження таке саме, як у квадратного кореня, а при непарному правила помітно вільніші — від'ємні числа під коренем стають допустимими.

Означення

Арифметичним коренем $n$ -го степеня з невід'ємного числа $a$ ( $n$ — натуральне, $n \ge 2$ ) називають таке невід'ємне число $b$ , $n$ -й степінь якого дорівнює $a$ :

$\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a, \quad b \ge 0, \ a \ge 0.$

Число $n$ називають показником кореня, $a$ — підкореневим виразом. При $n = 2$ дістаємо звичайний квадратний корінь (показник $2$ не пишуть). Наприклад, $\sqrt[3]{27} = 3$ , бо $3^3 = 27$ ; $\sqrt[4]{16} = 2$ , бо $2^4 = 16$ .

Порухай повзунки й простеж, коли корінь виходить цілим:

Варто тримати в голові невеликий набір точних степенів — він дозволяє впізнавати корені без обчислень: куби $8,\ 27,\ 64,\ 125,\ 216$ ; четверті степені $16,\ 81,\ 256$ ; п'яті степені $32,\ 243$ .

Властивості

Для $a \ge 0$ , $b \ge 0$ , натуральних $n$ :

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}, \qquad \sqrt[n]{\tfrac{a}{b}} = \tfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \ (b > 0), \qquad \sqrt[n]{a^n} = a.$

Як і у квадратного кореня, властивості працюють для множення й ділення, але не для додавання: $\sqrt[3]{a + b} \ne \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$ .

Парний показник і знак

При парному $n$ підкореневий вираз має бути невід'ємним, а сам корінь невід'ємний: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$ . При непарному $n$ корінь означений і для від'ємних чисел: $\sqrt[3]{-8} = -2$ .

Причина відмінності — у поведінці степеня. Парний степінь будь-якого числа невід'ємний ( $(-2)^4 = 16$ ), тому від'ємне число не може бути результатом і не може стояти під коренем. А непарний степінь зберігає знак ( $(-2)^3 = -8$ ), тож корінь непарного степеня спокійно приймає й повертає від'ємні значення.

Приклад 1 — парний і непарний показники

Обчислимо $\sqrt[3]{-125}$ і $\sqrt[4]{(-3)^4}$ .

Показник $3$ непарний, тому від'ємне число допустиме: шукаємо число, куб якого дорівнює $-125$ . Це $-5$ , бо $(-5)^3 = -125$ . Отже, $\sqrt[3]{-125} = -5$ ;
показник $4$ парний, тому результат обов'язково невід'ємний: $\sqrt[4]{(-3)^4} = |-3| = 3$ .

Відповідь: $-5$ і $3$ . У другому випадку відповідь $-3$ була б помилкою — корінь парного степеня від'ємним не буває.

Винесення множника з-під кореня

Так само, як для квадратного кореня, виносять множник, що є точним $n$ -м степенем:

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}.$

Різниця лише в тому, які множники шукати: для кубічного кореня це куби ( $8, 27, 64, 125$ ), для кореня четвертого степеня — четверті степені ( $16, 81, 256$ ) і так далі.

Приклад 2 — винесення множника

Спростимо $\sqrt[3]{250}$ .

Шукаємо серед дільників числа $250$ точний куб: це $125$ , бо $250 = 125 \cdot 2$ ;
розкладаємо корінь: $\sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{2}$ ;
отже $\sqrt[3]{250} = 5\sqrt[3]{2}$ .

Відповідь: $5\sqrt[3]{2}$ .

Зв'язок зі степенем із дробовим показником

Корінь $n$ -го степеня — це степінь із показником-дробом:

$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}, \qquad \sqrt[n]{a} = a^{1/n} \quad (a \ge 0).$

Наприклад, $\sqrt[3]{a^2} = a^{2/3}$ , а $\sqrt[5]{a^3} = a^{3/5}$ . Ця рівність дає змогу переносити всі властивості степенів на корені.

Запам'ятати, що куди йде, допомагає проста підказка: показник кореня — у знаменник, показник степеня під коренем — у чисельник. Практична цінність цього переходу велика: складні вирази з вкладеними коренями простіше перетворювати саме в степеневій формі, де працюють звичні правила множення й піднесення до степеня.

Приклад 3 — через степінь із дробовим показником

Спростимо $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a}$ (при $a \ge 0$ ).

Переходимо до степенів: $a^{1/3} \cdot a^{1/6}$ ;
при множенні степенів з однаковою основою показники додаються: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$ ;
отже, вираз дорівнює $a^{1/2} = \sqrt{a}$ .

Відповідь: $\sqrt{a}$ . Без переходу до степенів таке спрощення було б значно громіздкішим.

Типові помилки

Ігнорують парність показника. $\sqrt[4]{a^4} = |a|$ , а $\sqrt[3]{a^3} = a$ — без модуля.
Вважають, що під коренем не буває від'ємних чисел. Для непарного показника буває.
Плутають чисельник і знаменник у переході $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ .
Розбивають корінь із суми.
Виносять множник, який не є точним $n$ -м степенем. Для кубічного кореня $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$ , а виносити $4$ не можна.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Кубічний корінь можна вводити символом ∛8 або як cbrt(8). Множник перед коренем — через зірочку: 3*cbrt(2). Перевірка приймає будь-який рівний за значенням запис.