Арифметичний корінь n-го степеня

Корінь $n$-го степеня узагальнює квадратний корінь, і майже всі його властивості збігаються з уже знайомими. Але з'являється одна принципова відмінність, від якої залежить половина завдань теми: парність показника. При парному $n$ поводження таке саме, як у квадратного кореня, а при непарному правила помітно вільніші — від'ємні числа під коренем стають допустимими.

Означення

Арифметичним коренем $n$-го степеня з невід'ємного числа $a$ ($n$ — натуральне, $n \ge 2$) називають таке невід'ємне число $b$, $n$-й степінь якого дорівнює $a$:

$\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a, \quad b \ge 0, \ a \ge 0.$

Число $n$ називають показником кореня, $a$ — підкореневим виразом. При $n = 2$ дістаємо звичайний квадратний корінь (показник $2$ не пишуть). Наприклад, $\sqrt[3]{27} = 3$, бо $3^3 = 27$; $\sqrt[4]{16} = 2$, бо $2^4 = 16$.

Порухай повзунки й простеж, коли корінь виходить цілим:

Варто тримати в голові невеликий набір точних степенів — він дозволяє впізнавати корені без обчислень: куби $8,\ 27,\ 64,\ 125,\ 216$; четверті степені $16,\ 81,\ 256$; п'яті степені $32,\ 243$.

Властивості

Для $a \ge 0$, $b \ge 0$, натуральних $n$:

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}, \qquad \sqrt[n]{\tfrac{a}{b}} = \tfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \ (b > 0), \qquad \sqrt[n]{a^n} = a.$

Як і у квадратного кореня, властивості працюють для множення й ділення, але не для додавання: $\sqrt[3]{a + b} \ne \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$.

Причина відмінності — у поведінці степеня. Парний степінь будь-якого числа невід'ємний ($(-2)^4 = 16$), тому від'ємне число не може бути результатом і не може стояти під коренем. А непарний степінь зберігає знак ($(-2)^3 = -8$), тож корінь непарного степеня спокійно приймає й повертає від'ємні значення.

Винесення множника з-під кореня

Так само, як для квадратного кореня, виносять множник, що є точним $n$-м степенем:

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}.$

Різниця лише в тому, які множники шукати: для кубічного кореня це куби ($8, 27, 64, 125$), для кореня четвертого степеня — четверті степені ($16, 81, 256$) і так далі.

Зв'язок зі степенем із дробовим показником

Корінь $n$-го степеня — це степінь із показником-дробом:

$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}, \qquad \sqrt[n]{a} = a^{1/n} \quad (a \ge 0).$

Наприклад, $\sqrt[3]{a^2} = a^{2/3}$, а $\sqrt[5]{a^3} = a^{3/5}$. Ця рівність дає змогу переносити всі властивості степенів на корені.

Запам'ятати, що куди йде, допомагає проста підказка: показник кореня — у знаменник, показник степеня під коренем — у чисельник. Практична цінність цього переходу велика: складні вирази з вкладеними коренями простіше перетворювати саме в степеневій формі, де працюють звичні правила множення й піднесення до степеня.

Типові помилки

• Ігнорують парність показника. $\sqrt[4]{a^4} = |a|$, а $\sqrt[3]{a^3} = a$ — без модуля.
• Вважають, що під коренем не буває від'ємних чисел. Для непарного показника буває.
• Плутають чисельник і знаменник у переході $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$.
• Розбивають корінь із суми.
• Виносять множник, який не є точним $n$-м степенем. Для кубічного кореня $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$, а виносити $4$ не можна.

Перевір себе