Логарифм. Логарифмічна функція

Логарифм лякає новизною позначення, але за ним стоїть цілком звичне питання: до якого степеня піднести число, щоб дістати інше? Усе інше — властивості, графіки, рівняння — випливає з цієї одної думки. Тому найкорисніше, що можна зробити на початку теми, — навчитися вільно перекладати запис із логарифмічної форми в степеневу і назад.

Означення

Логарифмом числа $b > 0$ за основою $a$ ($a > 0,\ a \ne 1$) називають показник степеня, до якого треба піднести $a$, щоб дістати $b$:

$\log_a b = c \iff a^c = b.$

Наприклад, $\log_2 8 = 3$, бо $2^3 = 8$; $\log_5 25 = 2$, бо $5^2 = 25$.

Обмеження в означенні не випадкові. Число $b$ має бути додатним, бо додатна основа в будь-якому степені лишається додатною. Основа $a$ теж додатна й не дорівнює одиниці: $1^c = 1$ за будь-якого $c$, тож рівняння $1^c = b$ для $b \ne 1$ розв'язку не має.

Окремі позначення: десятковий логарифм $\lg b = \log_{10} b$ і натуральний $\ln b = \log_e b$ (основа $e \approx 2{,}718$).

Основна логарифмічна тотожність і наслідки

$a^{\log_a b} = b, \qquad \log_a a^k = k, \qquad \log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1.$

Ці чотири рівності — просто означення, записане по-різному. Наприклад, $\log_a 1 = 0$ означає «до якого степеня піднести $a$, щоб дістати $1$?» — очевидно, до нульового. А $\log_a a^k = k$ читається як «до якого степеня піднести $a$, щоб дістати $a^k$?».

Властивості логарифмів

Для $a > 0,\ a \ne 1$, $x > 0$, $y > 0$:

$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a\dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \qquad \log_a x^p = p\log_a x.$

Вони успадковані від степенів: множенню степенів відповідає додавання показників, а логарифм — це і є показник. Саме тому логарифми колись і винайшли — щоб зводити громіздке множення до додавання.

Зверни увагу, чого серед властивостей немає: логарифма суми. Вираз $\log_a(x + y)$ не спрощується жодним чином і точно не дорівнює $\log_a x + \log_a y$ — останнє є логарифмом добутку.

Логарифмічна функція

Логарифмічна функція $y = \log_a x$ — обернена до показникової $y = a^x$. Її властивості:

• область визначення — $x > 0$, область значень — усі числа;
• проходить через точку $(1;\,0)$, бо $\log_a 1 = 0$;
• при $a > 1$ зростає, при $0 < a < 1$ — спадає.

Оберненість до показникової означає, що графіки $y = a^x$ і $y = \log_a x$ симетричні відносно прямої $y = x$. Звідси й «дзеркальність» їхніх властивостей: у показникової область визначення — уся пряма, а область значень — додатні числа; у логарифмічної навпаки.

Типові помилки

• Розписують логарифм суми. $\log_a(x+y)$ не спрощується.
• Плутають $\log_a x^p$ і $(\log_a x)^p$. Виносити показник можна лише з-під аргумента: $\log_2 8^2 = 2\log_2 8 = 6$, тоді як $(\log_2 8)^2 = 9$.
• Забувають про область визначення й приймають корені, за яких аргумент недодатний.
• Вважають, що логарифм не може бути від'ємним.
• Плутають основу з аргументом. $\log_2 8 = 3$, а $\log_8 2 = \dfrac{1}{3}$ — це різні числа.

Перевір себе