НМТ Математика

Монотонність та екстремуми функції за допомогою похідної

Це найпрактичніше застосування похідної в шкільному курсі: за знаком f′f' можна відновити всю поведінку функції, жодного разу не будуючи графік. Схема універсальна й працює однаково для многочленів, дробів і тригонометричних функцій, тому засвоївши алгоритм один раз, ти закриваєш цілий клас завдань НМТ.

Знак похідної й монотонність

Похідна показує, як швидко й у який бік змінюється функція. Її знак повністю визначає монотонність на проміжку:

f′(x)>0 на проміжку⇒f зростає;f′(x)<0⇒f спадає.f'(x) > 0 \text{ на проміжку} \Rightarrow f \text{ зростає}; \qquad f'(x) < 0 \Rightarrow f \text{ спадає}.

Зв'язок природний: похідна — це нахил дотичної. Якщо дотична йде «вгору» (додатний нахил), функція зростає; якщо «вниз» — спадає. Там, де дотична горизонтальна, нахил нульовий — і саме там функція може «розвернутися».

Критичні точки й екстремуми

Критичні точки — це точки, де f′(x)=0f'(x) = 0 (або не існує). Саме серед них шукають екстремуми (максимуми й мінімуми). Достатня умова екстремуму — зміна знака похідної при переході через критичну точку x0x_0:

  • якщо f′f' змінюється з «++» на «−-» — це точка максимуму;
  • якщо з «−-» на «++» — це точка мінімуму;
  • якщо знак не змінюється — екстремуму немає.

Рухай критичні точки й стеж, як похідна керує поведінкою функції:

Останній пункт часто ігнорують, а він принциповий: рівність f′(x0)=0f'(x_0) = 0 не гарантує екстремуму. Класичний контрприклад — функція y=x3y = x^3: її похідна 3x23x^2 дорівнює нулю при x=0x = 0, але знака не змінює (вона невід'ємна всюди), і функція просто продовжує зростати. Тому критичні точки — лише кандидати, які треба перевіряти.

Алгоритм дослідження
  1. Знайти f′(x)f'(x) і розв'язати f′(x)=0f'(x) = 0 — це критичні точки.
  2. Позначити їх на числовій прямій і визначити знаки f′f' на проміжках.
  3. Де f′>0f' > 0 — функція зростає, де f′<0f' < 0 — спадає.
  4. У точках зміни знака — екстремуми (max або min).

Приклад — покроково

Дослідимо f(x)=x2−4x+1f(x) = x^2 - 4x + 1.

Крок 1. Знаходимо похідну:

f′(x)=2x−4.f'(x) = 2x - 4.

Крок 2. Прирівнюємо до нуля — шукаємо критичні точки:

2x−4=0⇒x=2.2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2.

Крок 3. Визначаємо знаки f′f' на проміжках (підставляємо будь-яке число з проміжку):

ПроміжокПробна точкаf′f'Поведінка ff
(−∞;2)(-\infty; 2)x=0x=0f′(0)=−4<0f'(0) = -4 < 0спадає
(2;+∞)(2; +\infty)x=3x=3f′(3)=2>0f'(3) = 2 > 0зростає

Крок 4. Висновок. Похідна змінює знак з «−-» на «++» → x=2x = 2 — точка мінімуму:

f(2)=22−4⋅2+1=4−8+1=−3.f(2) = 2^2 - 4\cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3.

Приклад 2 — дві критичні точки

Дослідимо f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x.

  1. Похідна: f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3;
  2. критичні точки: 3x2−3=03x^2 - 3 = 0, звідси x2=1x^2 = 1 і x=±1x = \pm 1;
  3. визначаємо знаки на трьох проміжках:
    • (−∞; −1)(-\infty;\,-1), пробна точка x=−2x = -2: f′(−2)=12−3=9>0f'(-2) = 12 - 3 = 9 > 0 → зростає;
    • (−1; 1)(-1;\,1), пробна точка x=0x = 0: f′(0)=−3<0f'(0) = -3 < 0 → спадає;
    • (1; +∞)(1;\,+\infty), пробна точка x=2x = 2: f′(2)=9>0f'(2) = 9 > 0 → зростає;
  4. висновки: при x=−1x = -1 знак змінюється з «++» на «−-» — це максимум (f(−1)=−1+3=2f(-1) = -1 + 3 = 2); при x=1x = 1 з «−-» на «++» — мінімум (f(1)=1−3=−2f(1) = 1 - 3 = -2).

Зауваж: значення в точці максимуму (22) більше за значення в точці мінімуму (−2-2), але це локальні екстремуми — функція x3−3xx^3 - 3x необмежена й не має найбільшого значення на всій прямій.

Точка максимуму — не максимум функції

Розрізняй точку екстремуму (значення xx) і значення екстремуму (значення yy). У прикладі вище точка максимуму — це x=−1x = -1, а максимум функції — f(−1)=2f(-1) = 2. В умовах НМТ це формулювання розрізняють, і відповідь «22» на питання про точку максимуму буде помилковою.

Найбільше й найменше значення на відрізку

На відрізку [a;b][a; b] функція досягає найбільшого й найменшого значень або в критичних точках усередині, або на кінцях відрізка. Алгоритм: обчислити ff у критичних точках із [a;b][a;b] та в кінцях aa, bb — і обрати найбільше/найменше з цих значень.

Не забувай про кінці

Для параболи з вітками вгору найбільше значення на відрізку завжди в одному з кінців, а найменше — у вершині (якщо вона потрапляє у відрізок) або на найближчому кінці.

Тут не потрібно з'ясовувати, максимум це чи мінімум, — досить порівняти числа. Це робить задачу на відрізку простішою за повне дослідження: знайшов критичні точки, відкинув ті, що поза відрізком, обчислив значення в кількох точках і обрав крайні.

Приклад 3 — найбільше значення на відрізку

Знайдемо найбільше значення f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x на відрізку [0; 3][0;\ 3].

  1. Критичні точки ми вже знайшли: x=±1x = \pm 1; у відрізок потрапляє лише x=1x = 1;
  2. обчислюємо значення в критичній точці й на кінцях:
    • f(0)=0f(0) = 0;
    • f(1)=1−3=−2f(1) = 1 - 3 = -2;
    • f(3)=27−9=18f(3) = 27 - 9 = 18;
  3. найбільше з чисел 00, −2-2, 1818 — це 1818.

Відповідь: найбільше значення дорівнює 1818 і досягається на кінці відрізка, у точці x=3x = 3. Якби ми перевірили лише критичні точки, відповідь була б неправильною.

Типові помилки

  • Вважають будь-яку критичну точку екстремумом. Потрібна саме зміна знака похідної.
  • Плутають точку екстремуму зі значенням екстремуму.
  • Забувають перевірити кінці відрізка в задачах на найбільше/найменше значення.
  • Беруть пробні точки поза потрібним проміжком при визначенні знаків.
  • Плутають зростання функції зі зростанням похідної. Функція зростає там, де похідна додатна, а не там, де вона зростає.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Кілька критичних точок вводь через «;» (напр. -2; 3), порядок не важливий.

Розібрані приклади

Так виглядають задачі цієї теми в тренажері. Тут вони розібрані повністю — у самому тренажері числа в умові щоразу нові, а розв’язання відкривається після вашої відповіді.

  1. Приклад 1. Критичні точки

    Похідна функції f′(x)=3x2+21x+36. f'(x) = 3x^2 + 21x + 36. Знайдіть критичні точки.

    Відповідь: −4;−3-4; -3

    Розв'язання: f′(x)=3(x+4)(x+3)=0⇒x=−4; x=−3f'(x) = 3(x + 4)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -4; \ x = -3

  2. Приклад 2. Тип екстремуму

    При переході через x0=−4 x_0 = -4 похідна змінює знак з «−-» на «++». Що це за точка?
    • А)точка максимуму
    • Б)точка мінімуму

    Відповідь: точка мінімуму

    Розв'язання: f′f' з «−» на «+»⇒x0=−4 \Rightarrow x_0 = -4 — точка мінімуму

  3. Приклад 3. Проміжок монотонності

    На якому проміжку f(x)=x2+6x−2 f(x) = x^2 + 6x - 2 зростає?
    • А)(−3;+∞)(-3; +\infty)
    • Б)(−∞;−3)(-\infty; -3)

    Відповідь: (−3;+∞)(-3; +\infty)

    Розв'язання: f′(x)=2x+6=0⇒x=−3; f'(x) = 2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3; \ вітки вгору⇒зростає \Rightarrow зростає на (−3;+∞) (-3; +\infty)