НМТ Математика

Монотонність та екстремуми функції за допомогою похідної

Це найпрактичніше застосування похідної в шкільному курсі: за знаком f′f' можна відновити всю поведінку функції, жодного разу не будуючи графік. Схема універсальна й працює однаково для многочленів, дробів і тригонометричних функцій, тому засвоївши алгоритм один раз, ти закриваєш цілий клас завдань НМТ.

Знак похідної й монотонність

Похідна показує, як швидко й у який бік змінюється функція. Її знак повністю визначає монотонність на проміжку:

f′(x)>0 на проміжку⇒f зростає;f′(x)<0⇒f спадає.f'(x) > 0 \text{ на проміжку} \Rightarrow f \text{ зростає}; \qquad f'(x) < 0 \Rightarrow f \text{ спадає}.

Зв'язок природний: похідна — це нахил дотичної. Якщо дотична йде «вгору» (додатний нахил), функція зростає; якщо «вниз» — спадає. Там, де дотична горизонтальна, нахил нульовий — і саме там функція може «розвернутися».

Критичні точки й екстремуми

Критичні точки — це точки, де f′(x)=0f'(x) = 0 (або не існує). Саме серед них шукають екстремуми (максимуми й мінімуми). Достатня умова екстремуму — зміна знака похідної при переході через критичну точку x0x_0:

  • якщо f′f' змінюється з «++» на «−-» — це точка максимуму;
  • якщо з «−-» на «++» — це точка мінімуму;
  • якщо знак не змінюється — екстремуму немає.

Рухай критичні точки й стеж, як похідна керує поведінкою функції:

Останній пункт часто ігнорують, а він принциповий: рівність f′(x0)=0f'(x_0) = 0 не гарантує екстремуму. Класичний контрприклад — функція y=x3y = x^3: її похідна 3x23x^2 дорівнює нулю при x=0x = 0, але знака не змінює (вона невід'ємна всюди), і функція просто продовжує зростати. Тому критичні точки — лише кандидати, які треба перевіряти.

Алгоритм дослідження
  1. Знайти f′(x)f'(x) і розв'язати f′(x)=0f'(x) = 0 — це критичні точки.
  2. Позначити їх на числовій прямій і визначити знаки f′f' на проміжках.
  3. Де f′>0f' > 0 — функція зростає, де f′<0f' < 0 — спадає.
  4. У точках зміни знака — екстремуми (max або min).

Приклад — покроково

Дослідимо f(x)=x2−4x+1f(x) = x^2 - 4x + 1.

Крок 1. Знаходимо похідну:

f′(x)=2x−4.f'(x) = 2x - 4.

Крок 2. Прирівнюємо до нуля — шукаємо критичні точки:

2x−4=0⇒x=2.2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2.

Крок 3. Визначаємо знаки f′f' на проміжках (підставляємо будь-яке число з проміжку):

ПроміжокПробна точкаf′f'Поведінка ff
(−∞;2)(-\infty; 2)x=0x=0f′(0)=−4<0f'(0) = -4 < 0спадає
(2;+∞)(2; +\infty)x=3x=3f′(3)=2>0f'(3) = 2 > 0зростає

Крок 4. Висновок. Похідна змінює знак з «−-» на «++» → x=2x = 2 — точка мінімуму:

f(2)=22−4⋅2+1=4−8+1=−3.f(2) = 2^2 - 4\cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3.

Приклад 2 — дві критичні точки

Дослідимо f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x.

  1. Похідна: f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3;
  2. критичні точки: 3x2−3=03x^2 - 3 = 0, звідси x2=1x^2 = 1 і x=±1x = \pm 1;
  3. визначаємо знаки на трьох проміжках:
    • (−∞; −1)(-\infty;\,-1), пробна точка x=−2x = -2: f′(−2)=12−3=9>0f'(-2) = 12 - 3 = 9 > 0 → зростає;
    • (−1; 1)(-1;\,1), пробна точка x=0x = 0: f′(0)=−3<0f'(0) = -3 < 0 → спадає;
    • (1; +∞)(1;\,+\infty), пробна точка x=2x = 2: f′(2)=9>0f'(2) = 9 > 0 → зростає;
  4. висновки: при x=−1x = -1 знак змінюється з «++» на «−-» — це максимум (f(−1)=−1+3=2f(-1) = -1 + 3 = 2); при x=1x = 1 з «−-» на «++» — мінімум (f(1)=1−3=−2f(1) = 1 - 3 = -2).

Зауваж: значення в точці максимуму (22) більше за значення в точці мінімуму (−2-2), але це локальні екстремуми — функція x3−3xx^3 - 3x необмежена й не має найбільшого значення на всій прямій.

Точка максимуму — не максимум функції

Розрізняй точку екстремуму (значення xx) і значення екстремуму (значення yy). У прикладі вище точка максимуму — це x=−1x = -1, а максимум функції — f(−1)=2f(-1) = 2. В умовах НМТ це формулювання розрізняють, і відповідь «22» на питання про точку максимуму буде помилковою.

Найбільше й найменше значення на відрізку

На відрізку [a;b][a; b] функція досягає найбільшого й найменшого значень або в критичних точках усередині, або на кінцях відрізка. Алгоритм: обчислити ff у критичних точках із [a;b][a;b] та в кінцях aa, bb — і обрати найбільше/найменше з цих значень.

Не забувай про кінці

Для параболи з вітками вгору найбільше значення на відрізку завжди в одному з кінців, а найменше — у вершині (якщо вона потрапляє у відрізок) або на найближчому кінці.

Тут не потрібно з'ясовувати, максимум це чи мінімум, — досить порівняти числа. Це робить задачу на відрізку простішою за повне дослідження: знайшов критичні точки, відкинув ті, що поза відрізком, обчислив значення в кількох точках і обрав крайні.

Приклад 3 — найбільше значення на відрізку

Знайдемо найбільше значення f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x на відрізку [0; 3][0;\ 3].

  1. Критичні точки ми вже знайшли: x=±1x = \pm 1; у відрізок потрапляє лише x=1x = 1;
  2. обчислюємо значення в критичній точці й на кінцях:
    • f(0)=0f(0) = 0;
    • f(1)=1−3=−2f(1) = 1 - 3 = -2;
    • f(3)=27−9=18f(3) = 27 - 9 = 18;
  3. найбільше з чисел 00, −2-2, 1818 — це 1818.

Відповідь: найбільше значення дорівнює 1818 і досягається на кінці відрізка, у точці x=3x = 3. Якби ми перевірили лише критичні точки, відповідь була б неправильною.

Типові помилки

  • Вважають будь-яку критичну точку екстремумом. Потрібна саме зміна знака похідної.
  • Плутають точку екстремуму зі значенням екстремуму.
  • Забувають перевірити кінці відрізка в задачах на найбільше/найменше значення.
  • Беруть пробні точки поза потрібним проміжком при визначенні знаків.
  • Плутають зростання функції зі зростанням похідної. Функція зростає там, де похідна додатна, а не там, де вона зростає.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Кілька критичних точок вводь через «;» (напр. -2; 3), порядок не важливий.

Завдання формату НМТ

Завдання в тому вигляді, як їх дають на національному мультипредметному тесті: вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), установлення відповідності та коротка відповідь десятковим дробом. Там, де є позначка «Прототип», задачу побудовано за типом реального завдання НМТ минулих років; числа в умові щоразу нові.

  • Точка екстремуму

    Вибір А–Д

  • Проміжок спадання

    Вибір А–Д

  • Відповідність: функція ↔ властивість

    Відповідність · Прототип: НМТ 2023 · зошит 2 · №16

  • Найбільше/найменше значення на відрізку

    Коротка відповідь

Приклади розв’язання завдань НМТ

Так розв’язують завдання формату НМТ із цієї теми — по одному прикладу на кожен формат: вибір відповіді, відповідність, коротка відповідь. У розділі «Завдання формату НМТ» числа щоразу нові, а тут кожен крок розписано.

  1. 1Точка екстремуму
    Вибір А–Д
    Укажіть точку максимуму функції f(x)=x3−48x−6. f(x) = x^3 - 48x - 6.
    • А122
    • Б48
    • В-4
    • Г4
    • Д0
    Знайдіть критичні точки з умови f′(x)=0 f'(x) = 0 і визначте, як змінюється знак похідної.
    Показати розв’язання
    1. 1
      f′(x)=3x2−48=3(x−4)(x+4)f'(x) = 3x^2 - 48 = 3(x - 4)(x + 4)
    2. 2
      f′f' змінює знак з «+» на «−» у точці x=−4 x = -4 (максимум) і з «−» на «+» у точці x=4 x = 4 (мінімум).
    Відповідь: В) −4 -4
  2. 2Відповідність: функція ↔ властивість
    Відповідність
    Прототип: НМТ 2023 · зошит 2 · №16
    До кожної функції (1–3) доберіть її властивість (А–Д).
    Азростає на всій області визначення
    Бнабуває лише додатних значень
    Вє непарною
    Гмає точку локального максимуму
    Дмає точку локального мінімуму
    • 1.y=(x−1)2−8y = (x - 1)^2 - 8
    • 2.y=4−xy = 4^{-x}
    • 3.y=log⁡4xy = \log_{4} x
    Згадайте графіки основних функцій або дослідіть знак похідної.
    Показати розв’язання
    1. 1
      1 — Д: мінімум при x=1 x = 1
    2. 2
      2 — Б: 4−x>0 4^{-x} > 0 для всіх x x
    3. 3
      3 — А: основа більша за 1 — функція зростає
    Відповідь:
    • 1 — Д: y=(x−1)2−8  →   y = (x - 1)^2 - 8 \;\to\; має точку локального мінімуму
    • 2 — Б: y=4−x  →   y = 4^{-x} \;\to\; набуває лише додатних значень
    • 3 — А: y=log⁡4x  →   y = \log_{4} x \;\to\; зростає на всій області визначення
  3. 3Найбільше/найменше значення на відрізку
    Коротка відповідь
    Знайдіть найбільше значення функції f(x)=x3−3x−2 f(x) = x^3 - 3x - 2 на відрізку [−2; 3]. [-2;\ 3].
    Порівняйте значення функції на кінцях відрізка і в критичних точках, що йому належать.
    Показати розв’язання
    1. 1
      f′(x)=0⇒x=±1f'(x) = 0 \Rightarrow x = \pm 1
    2. 2
      f(−2)=−4, f(3)=16, f(−1)=0, f(1)=−4⇒16f(-2) = -4,\ f(3) = 16,\ f(-1) = 0,\ f(1) = -4 \Rightarrow 16
    Відповідь: 1616