Тригонометричні рівняння

Головна відмінність тригонометричних рівнянь від усіх попередніх — вони мають нескінченно багато коренів. Причина в періодичності: якщо кут $x$ підходить, то підходять і $x + 2\pi$, $x + 4\pi$ і так далі. Тому відповідь тут — не число, а формула з цілим параметром $n$. На НМТ найчастіше просять або цю формулу, або найменший додатний корінь чи їх кількість на заданому проміжку.

Найпростіші рівняння

Найпростіше тригонометричне рівняння — це $\sin x = a$, $\cos x = a$ або $\tan x = a$. На одиничному колі розв'язки — це точки перетину кола з прямою $y=a$ (для синуса) чи $x=a$ (для косинуса):

Якщо $|a| > 1$, рівняння $\sin x = a$ і $\cos x = a$ не мають розв'язків, бо $|\sin x| \le 1$ і $|\cos x| \le 1$.

Це перше, що варто перевіряти. Рівняння $\cos x = 1{,}5$ чи $\sin x = -2$ розв'язків не мають — і з'ясувати це можна за секунду, не роблячи жодних перетворень. А от для тангенса такого обмеження немає: $\tan x = 100$ цілком має розв'язки.

Загальні розв'язки

$\sin x = a \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z};$

$\cos x = a \Rightarrow x = \pm \arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z};$

$\tan x = a \Rightarrow x = \arctan a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

Головний розв'язок — це значення $\arcsin a \in \left[-\tfrac{\pi}{2}; \tfrac{\pi}{2}\right]$ або $\arccos a \in [0; \pi]$.

Різниця у виглядах формул пояснюється розташуванням розв'язків на колі. Для косинуса дві точки перетину симетричні відносно горизонтальної осі, тому вони відрізняються лише знаком: $\pm\arccos a$, і період повний — $2\pi$. Для синуса точки симетричні відносно вертикальної осі, і саме звідси береться чергування $(-1)^n$ із півперіодом $\pi n$. У тангенса ж період узагалі $\pi$, тому формула найпростіша.

Окремі випадки

Для $a = 0, \pm 1$ формули спрощуються — їх варто пам'ятати:

$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n; \qquad \sin x = 1 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi n; \qquad \sin x = -1 \Rightarrow x = -\tfrac{\pi}{2} + 2\pi n;$

$\cos x = 0 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2} + \pi n; \qquad \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n; \qquad \cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n.$

Ці випадки виокремлюють недарма: загальні формули тут дали б надлишковий запис. Наприклад, для $\cos x = 0$ формула $\pm\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$ формально правильна, але коротший запис $\dfrac{\pi}{2} + \pi n$ описує ті самі корені удвічі економніше — бо при $a = 0$ дві точки перетину лежать якраз на відстані $\pi$ одна від одної.

Типові помилки

• Забувають про періодичність і записують лише головний розв'язок. Без $+2\pi n$ чи $+\pi n$ відповідь неповна.
• Плутають періоди. У синуса й косинуса загальний період $2\pi$, у тангенса — $\pi$.
• Втрачають другу серію коренів у рівнянні з косинусом, забувши знак $\pm$.
• Не перевіряють умову $|a| \le 1$ і «розв'язують» рівняння, яке коренів не має.
• Плутають $\arccos$ і $\arcsin$ за областю значень. Арккосинус лежить у $[0;\pi]$, арксинус — у $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$, тому арксинус від'ємного числа від'ємний, а арккосинус — ні.

Перевір себе