Конус. Куля. Сфера

Конус і куля завершують перелік тіл обертання. Формул тут більше, ніж у циліндра, і саме їх найчастіше плутають на іспиті: об'єм кулі й площа сфери відрізняються лише показником степеня та коефіцієнтом. Надійний спосіб не помилитися — не заучувати їх списком, а пам'ятати логіку: об'єм завжди «кубічний» (радіус у третьому степені), поверхня завжди «квадратна» (радіус у другому).

Конус

Конус утворюється обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Він має круглу основу (радіус $R$ ), вершину й бічну поверхню. Відрізок від вершини до кола основи — твірна $l$ ; вона пов'язана з радіусом і висотою теоремою Піфагора:

$l = \sqrt{R^2 + h^2}.$

Об'єм і поверхня конуса:

$V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h, \qquad S_{\text{бік}} = \pi R l, \qquad S_{\text{повна}} = \pi R(R + l).$

Осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник з основою $2R$ і бічними сторонами $l$ . Його висота дорівнює висоті конуса. Саме в цьому трикутнику й «живуть» усі зв'язки теми: радіус, висота й твірна утворюють прямокутний трикутник, де твірна — гіпотенуза. Тому твірна завжди довша і за радіус, і за висоту.

Об'єм конуса — третина циліндра

Конус має втричі менший об'єм, ніж циліндр із такими самими основою й висотою: $V_{\text{кон}} = \tfrac13\pi R^2 h$ проти $V_{\text{цил}} = \pi R^2 h$ .

Приклад 1 — твірна, поверхня, об'єм

Радіус основи конуса дорівнює $6$ , висота — $8$ . Знайдемо твірну, бічну поверхню й об'єм.

Твірна за теоремою Піфагора: $l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ ;
бічна поверхня: $S_{\text{бік}} = \pi R l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi$ ;
повна поверхня: $\pi R(R + l) = \pi \cdot 6 \cdot 16 = 96\pi$ ;
об'єм: $V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 288 = 96\pi$ .

Відповідь: $l = 10$ , $S_{\text{бік}} = 60\pi$ , $V = 96\pi$ . Тут знову спрацювала пифагорова трійка $(6, 8, 10)$ .

Твірна чи висота

В об'ємі конуса стоїть висота $h$ , а в бічній поверхні — твірна $l$ . Це різні відрізки, і плутанина між ними — головна помилка теми. Якщо дано одне, а потрібне інше, переходь через $l^2 = R^2 + h^2$ .

Куля і сфера

Куля — тіло, обмежене сферою (усі точки на відстані $\le R$ від центра). Її об'єм і площа поверхні:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3, \qquad S = 4\pi R^2.$

Різниця між кулею і сферою така сама, як між кругом і колом: сфера — це лише поверхня (оболонка), куля — поверхня разом із усім, що всередині. Тому про сферу говорять «площа», а про кулю — «об'єм».

Приклад 2 — куля за площею поверхні

Площа поверхні кулі дорівнює $36\pi$ . Знайдемо її об'єм.

З формули поверхні: $4\pi R^2 = 36\pi$ , отже $R^2 = 9$ і $R = 3$ ;
підставляємо в об'єм: $V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27$ ;
рахуємо: $V = 36\pi$ .

Відповідь: $36\pi$ . Збіг чисел тут випадковий — просто для $R = 3$ обидві величини дають $36\pi$ ; за іншого радіуса вони різні.

Переріз кулі площиною

Будь-який переріз кулі площиною — це круг. Якщо площина на відстані $d$ від центра ( $d < R$ ), то радіус перерізу

$r = \sqrt{R^2 - d^2}.$

Найбільший переріз (через центр, $d=0$ ) — великий круг радіуса $R$ . Якщо $d = R$ , площина дотична до сфери — переріз вироджується в точку. Рухай площину:

Формула — знову теорема Піфагора: радіус кулі $R$ є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами $d$ (відстань до площини) і $r$ (радіус перерізу).

Дотична площина

Дотична площина до сфери перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику (просторовий аналог дотичної до кола).

Приклад 3 — радіус перерізу

Кулю радіуса $10$ перетинає площина на відстані $6$ від центра. Знайдемо площу перерізу.

Радіус перерізу: $r = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$ ;
переріз — круг, отже його площа $\pi r^2 = 64\pi$ .

Відповідь: $64\pi$ .

Типові помилки

Плутають формули об'єму кулі й площі сфери. Орієнтир за степенем: $R^3$ — це об'єм, $R^2$ — поверхня. Коефіцієнти теж різні: $\dfrac{4}{3}\pi$ проти $4\pi$ .
Підставляють висоту замість твірної в бічну поверхню конуса (або навпаки).
Забувають множник $\dfrac{1}{3}$ в об'ємі конуса.
Беруть діаметр замість радіуса. У всіх формулах теми стоїть саме радіус.
Вважають, що переріз кулі — це завжди великий круг. Великим він є лише тоді, коли площина проходить через центр.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Відповіді з $\pi$ вводь як 36*pi або 36π; твірну — звичайним числом. Перевірка порівнює чисельно.