Функція та її основні властивості

Поняття функції — центральне для всієї шкільної математики. Далі кожна нова тема (квадратична, показникова, тригонометрична функція) — це той самий набір питань, заданий про новий об'єкт: яка область визначення, де нулі, де зростає, чи парна. Тому цю тему варто розглядати як список питань, який ти ставитимеш кожній функції в курсі.

Поняття функції

Функція — це відповідність, за якою кожному значенню $x$ (аргументу) відповідає єдине значення $y = f(x)$ . Множину допустимих $x$ називають областю визначення $D(f)$ , а множину отриманих $y$ — областю значень $E(f)$ .

Слово «єдине» тут ключове. Одному $x$ не може відповідати два різних $y$ — саме тому коло не є графіком функції: вертикальна пряма перетинає його двічі. Це дає зручний графічний критерій: якщо будь-яка вертикальна пряма перетинає лінію не більш ніж в одній точці, це графік функції.

Обери функцію й посунь повзунок — віджет обчислює $f(x)$ і показує точку на графіку:

Способи задання функції

формулою — $f(x) = x^2 - 4$ ;
таблицею значень;
графіком на координатній площині;
словесно (описом).

Нулі функції

Нуль функції — це значення аргументу, за якого $f(x) = 0$ . Графічно — точки перетину графіка з віссю $Ox$ .

Зверни увагу: нуль функції — це значення аргументу, тобто $x$ , а не $y$ . Питання «знайти нулі функції» означає «розв'язати рівняння $f(x) = 0$ ».

Область визначення

Часто область визначення обмежують:

дріб — знаменник не дорівнює нулю;
корінь парного степеня — підкореневий вираз $\geq 0$ ;
многочлен — визначений для всіх $x$ .

Приклади

$f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ визначена при $x \neq 2$ ; $f(x) = \sqrt{x - 3}$ — при $x \geq 3$ .

Якщо обмежень кілька, вони діють одночасно — треба брати перетин умов.

Приклад 1 — область визначення з двома умовами

Знайдемо область визначення функції $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{x - 4}$ .

Підкореневий вираз невід'ємний: $x - 1 \ge 0$ , тобто $x \ge 1$ ;
знаменник не дорівнює нулю: $x - 4 \ne 0$ , тобто $x \ne 4$ ;
перетинаємо обидві умови.

Відповідь: $D(f) = [1;\ 4) \cup (4;\ +\infty)$ . Врахувати лише корінь і забути про знаменник — типова помилка.

Зростання і спадання

Функція зростає на проміжку, якщо більшому $x$ відповідає більше $f(x)$ , і спадає, якщо більшому $x$ відповідає менше $f(x)$ .

Важливо, що монотонність — властивість проміжку, а не функції загалом. Парабола $y = x^2$ спадає на $(-\infty;\,0]$ і зростає на $[0;\,+\infty)$ , тому сказати про неї просто «зростає» не можна.

Парність

Вид	Умова	Симетрія графіка	Приклад
Парна	$f(-x) = f(x)$	відносно осі $Oy$ (як у дзеркалі)	$f(x)=x^2$
Непарна	$f(-x) = -f(x)$	відносно початку координат	$f(x)=x^3$
Загального вигляду	жодна умова не виконується	немає	$f(x)=x^2+x$

Як перевірити парність — покроково

Підстав у формулу $-x$ замість $x$ і спрости вираз.
Порівняй те, що вийшло, з $f(x)$ та з $-f(x)$ .
Зроби висновок за таблицею вище.

Чого очікувати на прикладах:

$f(x) = x^2$ : $f(-x) = (-x)^2 = x^2$ . Вийшло те саме, що $f(x)$ → функція парна (мінус «зникає», бо степінь парний).
$f(x) = x^3$ : $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$ . Вийшло протилежне до $f(x)$ → непарна (мінус «виходить назовні», бо степінь непарний).
$f(x) = x^2 + x$ : $f(-x) = x^2 - x$ . Це не $f(x)$ (бо $+x$ стало $-x$ ) і не $-f(x) = -x^2 - x$ (бо перший доданок різний) → функція загального вигляду.

Швидка підказка

Якщо у формулі лише парні степені $x$ — функція парна; якщо лише непарні — непарна. А коли степені змішані (як $x^2+x$ ) — це майже завжди функція загального вигляду.

Функція загального вигляду — не помилка

«Ні парна, ні непарна» — цілком нормальна відповідь; більшість функцій саме такі. Помилка — намагатися неодмінно віднести функцію до однієї з двох категорій.

Приклад 2 — читання властивостей із графіка

Нехай графік функції перетинає вісь $Ox$ у точках $-3$ і $2$ , має найнижчу точку при $x = -0{,}5$ і симетричний відносно вертикальної прямої, що проходить через неї.

Нулі функції: $x = -3$ і $x = 2$ (де графік перетинає $Ox$ );
проміжок спадання: $(-\infty;\ -0{,}5]$ — до найнижчої точки;
проміжок зростання: $[-0{,}5;\ +\infty)$ ;
парність: вісь симетрії — не $Oy$ , а пряма $x = -0{,}5$ , тому функція не парна.

Останній пункт важливий: симетрія графіка сама собою парності не дає — вісь симетрії має бути саме віссю $Oy$ .

Типові помилки

Плутають нулі функції зі значенням функції в нулі. Нулі — це корені рівняння $f(x) = 0$ , а $f(0)$ — точка перетину з віссю $Oy$ .
Враховують не всі обмеження області визначення.
Називають функцію зростаючою без зазначення проміжку.
Плутають область визначення з областю значень. $D(f)$ — множина допустимих $x$ , $E(f)$ — множина отриманих $y$ .
Вважають будь-яку симетрію графіка ознакою парності.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Числові відповіді — одним числом. Для області визначення й парності натисни потрібний варіант.