Рівняння з двома змінними та їх системи

Одне рівняння з двома невідомими розв'язку не визначає — потрібні два. Ця проста ідея робить системи головним інструментом для текстових задач: майже будь-яка сюжетна умова (про рух, суміші, покупки чи роботу) містить рівно стільки незалежних фактів, скільки невідомих. Навчитися перекладати текст у систему важливіше, ніж швидко її розв'язувати.

Лінійне рівняння з двома змінними

Рівняння виду $ax + by = c$ (де $a$, $b$ не дорівнюють нулю одночасно) має безліч розв'язків — пар $(x; y)$. Графік такого рівняння — пряма.

Система рівнянь

Система двох рівнянь вимагає знайти пари $(x; y)$, що задовольняють обидва рівняння одночасно. Геометрично розв'язок — це точка перетину двох прямих.

Порухай нахили й зсуви прямих і простеж за точкою перетину:

Можливі три випадки:

Геометрична картина одразу пояснює, коли розв'язків немає, а коли їх безліч. Прямі не перетинаються, якщо вони паралельні — тобто мають однаковий нахил, але різні зсуви. І збігаються, якщо одне рівняння є другим, помноженим на число: тоді це насправді одна пряма, записана двічі.

Методи розв'язування

Метод підстановки: з одного рівняння виражають одну змінну й підставляють у друге.

Метод додавання: рівняння додають (або віднімають) так, щоб одна змінна зникла.

Обирати метод варто за виглядом системи. Якщо в якомусь рівнянні змінна вже стоїть окремо (або має коефіцієнт $1$), швидша підстановка. Якщо коефіцієнти при одній змінній однакові чи протилежні — швидше додавання.

Текстові задачі

Багато текстових задач зводяться до системи. Наприклад, «сума двох чисел дорівнює $S$, а різниця — $D$»:

$\begin{cases} x + y = S \\ x - y = D \end{cases} \Rightarrow x = \dfrac{S + D}{2}, \ y = \dfrac{S - D}{2}.$

Порада, що економить найбільше часу: познач буквами саме те, про що питають. Якщо в задачі просять знайти кількість учнів, зручно позначити через $x$ саме її, а не якусь проміжну величину — інакше наприкінці легко забути зробити останній перехід і записати у відповідь не те.

Системи з рівнянням другого степеня

Якщо одне рівняння системи — другого степеня, часто зручна симетрична система $\begin{cases} x + y = s \\ xy = p \end{cases}$. За теоремою Вієта $x$ і $y$ — це корені квадратного рівняння $t^2 - s\,t + p = 0$.

Прийом економить чимало часу: замість підстановки й громіздких перетворень одразу складають квадратне рівняння. Зверни увагу, що така система дає дві пари-розв'язки — $(t_1;\ t_2)$ і $(t_2;\ t_1)$, — бо змінні входять в неї симетрично.

Типові помилки

• Знаходять лише одну змінну. Розв'язок системи — це пара чисел; знайшовши $x$, обов'язково поверніться за $y$.
• Підставляють знайдене значення в те саме рівняння, з якого його виразили. Так вийде тотожність $0 = 0$ і жодної нової інформації — підставляти треба в інше рівняння.
• Плутають «немає розв'язків» із «безліч розв'язків». Паралельні різні прямі — розв'язків немає; прямі, що збігаються, — розв'язків безліч.
• Помиляються зі знаком при відніманні рівнянь. Віднімаючи, змінюй знак кожного доданка правої системи, а не лише першого.
• Забувають відповісти на питання задачі. Знайшли $x$ і $y$ — перечитай умову: там могли питати їхню суму, різницю чи лише одну з величин.

Перевір себе