НМТ Математика

Степінь з раціональним показником. Степенева функція

Дробовий показник — це спосіб записати корінь так, щоб з ним працювали звичайні правила степенів. Після цього означення зникає потреба в окремих формулах для коренів: усе, що ти знаєш про am⋅ana^m \cdot a^n, автоматично працює й для a3⋅a\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt{a}. Саме тому цю тему варто сприймати не як нову, а як об'єднання двох уже знайомих.

Означення

Степінь із дробовим (раціональним) показником означають через корінь. Для a>0a > 0, натурального n≥2n \ge 2 і цілого mm:

amn=amn=(an)m.a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m.

Зокрема a1n=ana^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}. Наприклад:

823=823=(83)2=22=4,1634=(164)3=23=8.8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4, \qquad 16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8.

Правило запам'ятовування просте: знаменник показника — це показник кореня, чисельник — степінь під ним. Тому a2/3a^{2/3} читається як «кубічний корінь із aa у квадраті».

Як рахувати швидко

Зручніше спочатку добути корінь, а потім піднести до степеня: (an)m\left(\sqrt[n]{a}\right)^m. Тоді числа лишаються маленькими.

Порада не косметична: обчислюючи 163/416^{3/4} «в лоб», довелося б рахувати 163=409616^3 = 4096 і шукати корінь четвертого степеня з нього. А в правильному порядку — 164=2\sqrt[4]{16} = 2, далі 23=82^3 = 8 — усе усно.

Приклад 1 — обчислення степеня з дробовим показником

Обчислимо 27−2327^{-\frac{2}{3}}.

  1. Від'ємний показник означає обернене число: 27−2/3=1272/327^{-2/3} = \dfrac{1}{27^{2/3}};
  2. рахуємо 272/327^{2/3}: спершу корінь 273=3\sqrt[3]{27} = 3, потім квадрат 32=93^2 = 9;
  3. отже, результат 19\dfrac{1}{9}.

Відповідь: 19\dfrac{1}{9}. Порядок дій — корінь, степінь, обернення — дозволяє все зробити усно.

Властивості степенів переносяться на дробові показники

Для a>0a > 0, b>0b > 0 і будь-яких раціональних pp, qq:

ap⋅aq=ap+q,apaq=ap−q,(ap)q=apq,(ab)p=apbp.a^p \cdot a^q = a^{p+q}, \qquad \dfrac{a^p}{a^q} = a^{p-q}, \qquad \left(a^p\right)^q = a^{pq}, \qquad (ab)^p = a^p b^p.

Наприклад, x12⋅x13=x12+13=x56x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}}.

У цьому й головна практична цінність теми: вирази з різними коренями, які «не складаються» в радикальній формі, легко об'єднуються в степеневій. Тому стандартний прийом — перевести все в степені, виконати дії з показниками, а наприкінці за потреби повернутися до кореня.

Приклад 2 — спрощення виразу з коренями

Спростимо a⋅a3a6\dfrac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a}}{\sqrt[6]{a}} (при a>0a > 0).

  1. Переходимо до степенів: a1/2⋅a1/3a1/6\dfrac{a^{1/2} \cdot a^{1/3}}{a^{1/6}};
  2. у чисельнику показники додаються: 12+13=56\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6};
  3. при діленні показник віднімається: 56−16=46=23\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3};
  4. отже, вираз дорівнює a2/3=a23a^{2/3} = \sqrt[3]{a^2}.

Відповідь: a23\sqrt[3]{a^2}.

Степенева функція

Степеневою називають функцію y=xpy = x^p. Уся її поведінка залежить від одного — знака й величини показника pp:

Показник ppЩо робить функція на (0;+∞)(0;+\infty)На що схожий графік
p>1p > 1зростає«крутіший» за пряму (як y=x2y=x^2, y=x3y=x^3)
p=1p = 1зростаєпряма y=xy = x
0<p<10 < p < 1зростає«пологіший», як y=xy=\sqrt{x}
p<0p < 0спадаєгіпербола y=1xy=\dfrac{1}{x}

Головне, що варто запам'ятати:

  • при додатному pp функція зростає, при від'ємному — спадає;
  • усі графіки y=xpy = x^p проходять через точку (1; 1)(1;\,1) — бо 1p=11^p = 1 за будь-якого pp.

Порухай повзунок показника й простеж, як змінюється форма:

Степенева — не показникова

У степеневій функції y=xpy = x^p змінна стоїть в основі, а показник сталий. У показниковій y=axy = a^x — навпаки. Функції y=x2y = x^2 і y=2xy = 2^x поводяться зовсім по-різному: перша симетрична відносно осі OyOy, друга завжди зростає й ніколи не дорівнює нулю.

Приклад 3 — порівняння значень

Порівняємо (14)−12\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} і 8138^{\frac{1}{3}}.

  1. Перший вираз: від'ємний показник обертає дріб — (14)−1/2=41/2=4=2\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1/2} = 4^{1/2} = \sqrt{4} = 2;
  2. другий вираз: 81/3=83=28^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2;
  3. обидва дорівнюють 22.

Відповідь: вирази рівні. Ключовий крок — правило (1a)−p=ap\left(\dfrac{1}{a}\right)^{-p} = a^p: від'ємний показник «перевертає» дріб.

Типові помилки

  • Плутають чисельник і знаменник показника. Знаменник — це показник кореня.
  • Підносять до степеня перед добуванням кореня й застрягають на великих числах.
  • Вважають від'ємний показник ознакою від'ємного числа. 27−2/3=1927^{-2/3} = \dfrac{1}{9}, а не −9-9.
  • Плутають степеневу функцію з показниковою.
  • Застосовують означення до від'ємної основи. Для a<0a < 0 дробовий показник визначений не завжди: (−8)1/2(-8)^{1/2} змісту не має.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Дробовий показник вводь у дужках: x^(5/6). Числову відповідь можна давати дробом (1/4) або десятковим (0,25). Перевірка приймає будь-який рівний за значенням запис.

Завдання формату НМТ

Завдання в тому вигляді, як їх дають на національному мультипредметному тесті: вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), установлення відповідності та коротка відповідь десятковим дробом. Там, де є позначка «Прототип», задачу побудовано за типом реального завдання НМТ минулих років; числа в умові щоразу нові.

  • Значення степеня з дробовим показником

    Вибір А–Д

  • Дії зі степенями з дробовим показником

    Вибір А–Д

  • Відповідність: вираз ↔ твердження про значення

    Відповідність · Прототип: НМТ 2024 · зошит 1 · №17

  • Обчислення степенів із дробовим показником

    Коротка відповідь

Приклади розв’язання завдань НМТ

Так розв’язують завдання формату НМТ із цієї теми — по одному прикладу на кожен формат: вибір відповіді, відповідність, коротка відповідь. У розділі «Завдання формату НМТ» числа щоразу нові, а тут кожен крок розписано.

  1. 1Значення степеня з дробовим показником
    Вибір А–Д
    Обчисліть 16−12. 16^{-\frac{1}{2}}.
    • А−8-8
    • Б14\dfrac{1}{4}
    • В11
    • Г44
    • Д88
    amn=(an)ma^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m; від’ємний показник — обернене число.
    Показати розв’язання
    1. 1
      16−12=(162)−1=4−1=1416^{-\frac{1}{2}} = \left(\sqrt[2]{16}\right)^{-1} = 4^{-1} = \dfrac{1}{4}
    Відповідь: Б) 14 \dfrac{1}{4}
  2. 2Відповідність: вираз ↔ твердження про значення
    Відповідність
    Прототип: НМТ 2024 · зошит 1 · №17
    Установіть відповідність між виразом (1–3) та твердженням про його значення (А–Д), якщо a=3. a = 3.
    Аналежить проміжку (0; 1) (0;\ 1)
    Бдорівнює 1 1
    Вє ірраціональним числом
    Гбільше за 5 5
    Дє від’ємним числом
    • 1.a13a^{\frac{1}{3}}
    • 2.a12⋅a−12a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{1}{2}}
    • 3.a−1a^{-1}
    Підставте a=3 a = 3 і спростіть кожен вираз.
    Показати розв’язання
    1. 1
      1 — В: a13=33 a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}
    2. 2
      2 — Б: a12⋅a−12=a0=1 a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{1}{2}} = a^0 = 1
    3. 3
      3 — А: a−1=13 a^{-1} = \dfrac{1}{3}
    Відповідь:
    • 1 — В: a13  →   a^{\frac{1}{3}} \;\to\; є ірраціональним числом
    • 2 — Б: a12⋅a−12  →   a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{1}{2}} \;\to\; дорівнює 1 1
    • 3 — А: a−1  →   a^{-1} \;\to\; належить проміжку (0; 1) (0;\ 1)
  3. 3Обчислення степенів із дробовим показником
    Коротка відповідь
    Обчисліть 412+100−12. 4^{\frac{1}{2}} + 100^{-\frac{1}{2}}.
    a−12=1a.a^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{a}}.
    Показати розв’язання
    1. 1
      412=24^{\frac{1}{2}} = 2
    2. 2
      100−12=110=0,1100^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1
    3. 3
      2+0,1=2,12 + 0{,}1 = 2{,}1
    Відповідь: 2,12{,}1