Степінь з раціональним показником. Степенева функція

Дробовий показник — це спосіб записати корінь так, щоб з ним працювали звичайні правила степенів. Після цього означення зникає потреба в окремих формулах для коренів: усе, що ти знаєш про $a^m \cdot a^n$ , автоматично працює й для $\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt{a}$ . Саме тому цю тему варто сприймати не як нову, а як об'єднання двох уже знайомих.

Означення

Степінь із дробовим (раціональним) показником означають через корінь. Для $a > 0$ , натурального $n \ge 2$ і цілого $m$ :

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m.$

Зокрема $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ . Наприклад:

$8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4, \qquad 16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8.$

Правило запам'ятовування просте: знаменник показника — це показник кореня, чисельник — степінь під ним. Тому $a^{2/3}$ читається як «кубічний корінь із $a$ у квадраті».

Як рахувати швидко

Зручніше спочатку добути корінь, а потім піднести до степеня: $\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ . Тоді числа лишаються маленькими.

Порада не косметична: обчислюючи $16^{3/4}$ «в лоб», довелося б рахувати $16^3 = 4096$ і шукати корінь четвертого степеня з нього. А в правильному порядку — $\sqrt[4]{16} = 2$ , далі $2^3 = 8$ — усе усно.

Приклад 1 — обчислення степеня з дробовим показником

Обчислимо $27^{-\frac{2}{3}}$ .

Від'ємний показник означає обернене число: $27^{-2/3} = \dfrac{1}{27^{2/3}}$ ;
рахуємо $27^{2/3}$ : спершу корінь $\sqrt[3]{27} = 3$ , потім квадрат $3^2 = 9$ ;
отже, результат $\dfrac{1}{9}$ .

Відповідь: $\dfrac{1}{9}$ . Порядок дій — корінь, степінь, обернення — дозволяє все зробити усно.

Властивості степенів переносяться на дробові показники

Для $a > 0$ , $b > 0$ і будь-яких раціональних $p$ , $q$ :

$a^p \cdot a^q = a^{p+q}, \qquad \dfrac{a^p}{a^q} = a^{p-q}, \qquad \left(a^p\right)^q = a^{pq}, \qquad (ab)^p = a^p b^p.$

Наприклад, $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}}$ .

У цьому й головна практична цінність теми: вирази з різними коренями, які «не складаються» в радикальній формі, легко об'єднуються в степеневій. Тому стандартний прийом — перевести все в степені, виконати дії з показниками, а наприкінці за потреби повернутися до кореня.

Приклад 2 — спрощення виразу з коренями

Спростимо $\dfrac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a}}{\sqrt[6]{a}}$ (при $a > 0$ ).

Переходимо до степенів: $\dfrac{a^{1/2} \cdot a^{1/3}}{a^{1/6}}$ ;
у чисельнику показники додаються: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ ;
при діленні показник віднімається: $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ ;
отже, вираз дорівнює $a^{2/3} = \sqrt[3]{a^2}$ .

Відповідь: $\sqrt[3]{a^2}$ .

Степенева функція

Степеневою називають функцію $y = x^p$ . Уся її поведінка залежить від одного — знака й величини показника $p$ :

Показник $p$	Що робить функція на $(0;+\infty)$	На що схожий графік
$p > 1$	зростає	«крутіший» за пряму (як $y=x^2$ , $y=x^3$ )
$p = 1$	зростає	пряма $y = x$
$0 < p < 1$	зростає	«пологіший», як $y=\sqrt{x}$
$p < 0$	спадає	гіпербола $y=\dfrac{1}{x}$

Головне, що варто запам'ятати:

при додатному $p$ функція зростає, при від'ємному — спадає;
усі графіки $y = x^p$ проходять через точку $(1;\,1)$ — бо $1^p = 1$ за будь-якого $p$ .

Порухай повзунок показника й простеж, як змінюється форма:

Степенева — не показникова

У степеневій функції $y = x^p$ змінна стоїть в основі, а показник сталий. У показниковій $y = a^x$ — навпаки. Функції $y = x^2$ і $y = 2^x$ поводяться зовсім по-різному: перша симетрична відносно осі $Oy$ , друга завжди зростає й ніколи не дорівнює нулю.

Приклад 3 — порівняння значень

Порівняємо $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}$ і $8^{\frac{1}{3}}$ .

Перший вираз: від'ємний показник обертає дріб — $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1/2} = 4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$ ;
другий вираз: $8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$ ;
обидва дорівнюють $2$ .

Відповідь: вирази рівні. Ключовий крок — правило $\left(\dfrac{1}{a}\right)^{-p} = a^p$ : від'ємний показник «перевертає» дріб.

Типові помилки

Плутають чисельник і знаменник показника. Знаменник — це показник кореня.
Підносять до степеня перед добуванням кореня й застрягають на великих числах.
Вважають від'ємний показник ознакою від'ємного числа. $27^{-2/3} = \dfrac{1}{9}$ , а не $-9$ .
Плутають степеневу функцію з показниковою.
Застосовують означення до від'ємної основи. Для $a < 0$ дробовий показник визначений не завжди: $(-8)^{1/2}$ змісту не має.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Дробовий показник вводь у дужках: x^(5/6). Числову відповідь можна давати дробом (1/4) або десятковим (0,25). Перевірка приймає будь-який рівний за значенням запис.