Логарифмічна функція. Логарифмічні нерівності

Логарифмічні рівняння й нерівності — одна з тих тем НМТ, де більшість помилок трапляється не в обчисленнях, а в неуважності: правильно знайдений корінь виявляється стороннім, а знак нерівності «забувають» розвернути. Причина в обох випадках одна — не врахували, як влаштована сама логарифмічна функція. Тому починаємо не з прийомів розв'язування, а з двох її властивостей, від яких залежить усе інше: області визначення й монотонності.

Монотонність і ОДЗ

Логарифмічна функція $y = \log_a x$ означена лише для $x > 0$ (це її область визначення). Причина проста: $\log_a x$ — це показник степеня, до якого треба піднести основу $a$, щоб дістати $x$. Додатне число $a$ у будь-якому степені лишається додатним, тому від'ємного чи нульового $x$ отримати неможливо — логарифма від такого числа просто не існує.

Основа теж не будь-яка: $a > 0$ і $a \ne 1$. Одиниця виключена з тієї ж причини — $1^c = 1$ за будь-якого $c$, тож рівняння $1^c = x$ не має розв'язку ні для якого $x \ne 1$.

Друга ключова властивість — функція строго монотонна, і напрям залежить від основи:

• при $a > 1$ — зростає;
• при $0 < a < 1$ — спадає.

Саме монотонність дає змогу переходити від логарифмів до їхніх аргументів. Строго монотонна функція набуває кожного значення рівно один раз, тому з рівності логарифмів обов'язково випливає рівність аргументів:

$\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x) \quad (f(x) > 0,\ g(x) > 0).$

Якби функція не була монотонною, такий перехід був би незаконним — різні аргументи могли б давати однакове значення логарифма.

Логарифмічні рівняння

Найпростіше рівняння $\log_a x = c$ розв'язують за означенням:

$\log_a x = c \iff x = a^c \quad (x > 0).$

Для рівняння з виразом усередині, $\log_a f(x) = c$, схема та сама: спершу знаходять $f(x) = a^c$, розв'язують здобуте рівняння, а потім перевіряють ОДЗ ($f(x) > 0$).

Логарифмічні нерівності

Переходячи від $\log_a x \lessgtr c$ до $x$, напрям знака залежить від основи (і завжди пам'ятаємо про $x > 0$):

$a > 1:\ \log_a x > c \iff x > a^c \quad (\text{знак зберігається});$

$0 < a < 1:\ \log_a x > c \iff 0 < x < a^c \quad (\text{знак змінюється}).$

Зверни увагу на важливу різницю між двома випадками. При $a > 1$ умова $x > a^c$ уже сильніша за $x > 0$ (адже $a^c > 0$), тож ОДЗ виконується автоматично. А при $0 < a < 1$ нерівність дає лише верхню межу, і нижню доводиться дописувати з ОДЗ окремо — звідси подвійна нерівність $0 < x < a^c$. Саме тут найчастіше втрачають половину відповіді.

Типові помилки

• Не розвернули знак при основі, меншій за одиницю. Перед тим як прибирати логарифм у нерівності, завжди дивись на основу. Якщо не пам'ятаєш правило — підстав будь-яке число й перевір: $\log_{0{,}5} 8 = -3$, а $\log_{0{,}5} 2 = -1$; більшому аргументу відповідає менший логарифм, отже функція спадає.
• Забули ОДЗ у відповіді. Особливо при спадній основі, де ОДЗ дає нижню межу проміжку. Корисна звичка — виписувати ОДЗ першим рядком, ще до перетворень.
• Відкидають від'ємні корені «за звичкою». Умова $x > 0$ стосується не змінної, а виразу під логарифмом. Якщо там стоїть $x^2 - 2x$ чи $3 - x$, від'ємний $x$ цілком може бути правильною відповіддю (див. приклад 2).
• Плутають ОДЗ основи й аргументу. Якщо основа теж містить змінну, до умов додаються ще дві: основа має бути додатною й не дорівнювати одиниці.
• Втрачають розв'язки при переході до аргументів у нерівності виду $\log_a f(x) > \log_a g(x)$. Тут ОДЗ треба вимагати для обох виразів, а не лише для того, що виявився меншим.

Перевір себе