Піраміда

Піраміда — та тема, де стереометрія найчастіше зводиться до планіметрії. Сама фігура просторова, але всі її невідомі розміри лежать у двох-трьох прямокутних трикутниках, які треба навчитися бачити. Опанувавши цей прийом, ти закриваєш більшість задач НМТ про піраміду однією теоремою Піфагора — без жодних спеціальних формул.

Основні поняття

Піраміда — многогранник, одна грань якого (основа) — многокутник, а решта граней (бічні) — трикутники зі спільною вершиною. Відрізок від вершини піраміди перпендикулярно до площини основи — висота $h$.

Піраміду називають правильною, якщо її основа — правильний многокутник, а вершина проєктується в центр основи. У правильній піраміді всі бічні ребра рівні, а всі бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані (від вершини до середини сторони основи) — апофема $l$.

Слово «правильна» тут робить усю роботу: саме воно гарантує, що основа висоти потрапляє рівно в центр основи, а отже, відстані від цієї точки до сторін і до вершин основи однакові. Без цієї умови задача, як правило, не має однозначної відповіді.

Об'єм

Об'єм будь-якої піраміди втричі менший за об'єм призми з такою самою основою й висотою:

$V = \dfrac{1}{3}\,S_{\text{осн}}\cdot h.$

Множник $\dfrac{1}{3}$ стосується будь-якої піраміди — з трикутною, чотирикутною чи шестикутною основою. Змінюється лише спосіб обчислення $S_{\text{осн}}$: для квадрата це $a^2$, для правильного трикутника — $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$, для правильного шестикутника — $\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Апофема, ребро й поверхня

У правильній піраміді ключові відрізки пов'язані теоремою Піфагора. Для правильної чотирикутної піраміди зі стороною основи $a$:

$l = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2} \ (\text{апофема}), \qquad e = \sqrt{l^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2} \ (\text{бічне ребро}).$

Бічна поверхня правильної піраміди — половина добутку периметра основи на апофему:

$S_{\text{бік}} = \dfrac{1}{2}\,P_{\text{осн}}\cdot l.$

Формула бічної поверхні має ту саму природу, що й площа правильного многокутника: бічна поверхня складається з рівних трикутників, у кожного основа — сторона основи піраміди, а висота — апофема. Сума їхніх площ і дає $\dfrac{1}{2}P l$.

Типові помилки

• Забувають множник $\dfrac{1}{3}$ в об'ємі. Швидка перевірка: об'єм піраміди має бути втричі меншим за об'єм призми з тими самими основою й висотою.
• Підставляють висоту піраміди замість апофеми у формулу бічної поверхні.
• Беруть цілу сторону основи замість половини в прямокутних трикутниках. І апофема, і бічне ребро спираються саме на $\dfrac{a}{2}$.
• Плутають бічну поверхню з повною. Повна поверхня — це бічна плюс площа основи.
• Застосовують формули правильної піраміди до довільної. Рівність бічних ребер і граней виконується лише тоді, коли піраміда правильна.

Перевір себе