НМТ Математика

Трикутники та їх основні властивості

Трикутник — найпростіша замкнена фігура на площині й водночас основа всієї планіметрії: будь-який многокутник можна розрізати на трикутники, тому властивості трикутника працюють і в задачах про чотирикутники, і в стереометрії. На НМТ ця тема майже ніколи не трапляється «в чистому вигляді» — набагато частіше сума кутів чи нерівність трикутника є одним кроком у більшій задачі. Тому тут важливо не так вивчити формули, як навчитися бачити, яка з властивостей дає потрібне рівняння.

Елементи та види трикутників

Трикутник — фігура з трьох точок (вершин), не на одній прямій, і трьох відрізків (сторін). За сторонами трикутники бувають:

  • різносторонній — усі сторони різні;
  • рівнобедрений — дві сторони рівні (бічні), третя — основа;
  • рівносторонній — усі три сторони рівні.

За кутами — гострокутний, прямокутний, тупокутний.

Ці дві класифікації незалежні: трикутник може бути одночасно рівнобедреним і прямокутним (кути 90°90°, 45°45°, 45°45°) або рівнобедреним і тупокутним. А от рівносторонній завжди гострокутний — усі його кути по 60°60°.

Сума кутів трикутника

Найважливіша властивість:

α+β+γ=180°.\alpha + \beta + \gamma = 180°.

Порухай повзунки двох кутів — третій обчислюється сам, а трикутник змінює форму й тип:

Наслідок

У рівносторонньому трикутнику всі кути по 60°60°. У рівнобедреному кути при основі рівні.

З цієї рівності одразу випливає, що тупий кут у трикутнику може бути лише один: два кути, більші за 90°90°, дали б у сумі понад 180°180° ще до того, як ми додали третій. Так само не буває трикутника з двома прямими кутами.

Приклад 1 — кути рівнобедреного трикутника

Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 40°40°. Знайдемо кути при основі.

  1. Позначимо кожен кут при основі через xx — вони рівні;
  2. складаємо рівняння за сумою кутів: 40°+x+x=180°40° + x + x = 180°;
  3. звідси 2x=140°2x = 140°, отже x=70°x = 70°.

Відповідь: кути при основі по 70°70°. Перевірка: 40+70+70=18040 + 70 + 70 = 180. ✅

Зовнішній кут

Зовнішній кут трикутника (суміжний із внутрішнім) дорівнює сумі двох інших внутрішніх кутів:

γзовн=α+β.\gamma_{\text{зовн}} = \alpha + \beta.

Чому так? Зовнішній кут доповнює свій внутрішній до 180°180°, тобто γзовн=180°−γ\gamma_{\text{зовн}} = 180° - \gamma. Але й сума двох інших кутів дорівнює 180°−γ180° - \gamma за теоремою про суму кутів. Отже, ці величини рівні.

Приклад 2 — зовнішній кут

Зовнішній кут трикутника дорівнює 115°115°, а один із внутрішніх кутів, не суміжних із ним, — 60°60°. Знайдемо два інших внутрішніх кути.

  1. За властивістю зовнішнього кута: 115°=60°+β115° = 60° + \beta, звідси β=55°\beta = 55°;
  2. внутрішній кут, суміжний із зовнішнім: 180°−115°=65°180° - 115° = 65°.

Відповідь: 55°55° і 65°65°. Перевірка: 60+55+65=18060 + 55 + 65 = 180. ✅

Медіана, бісектриса, висота

  • Медіана сполучає вершину із серединою протилежної сторони;
  • бісектриса ділить кут навпіл;
  • висота — перпендикуляр із вершини до прямої протилежної сторони.

Кожен трикутник має по три таких відрізки, і кожна трійка перетинається в одній точці. Особливо корисний окремий випадок: у рівнобедреному трикутнику медіана, бісектриса й висота, проведені з вершини до основи, — це той самий відрізок. Саме тому задачі про рівнобедрений трикутник майже завжди зводяться до прямокутного: така висота розрізає його на два рівні прямокутні трикутники.

Висота не завжди всередині

У тупокутному трикутнику дві з трьох висот падають на продовження сторін, тобто лежать поза фігурою. Тому у формулюванні сказано «до прямої протилежної сторони», а не «до сторони».

Нерівність трикутника

Трикутник існує тоді й лише тоді, коли кожна сторона менша за суму двох інших:

a<b+c,b<a+c,c<a+b.a < b + c, \quad b < a + c, \quad c < a + b.

Перевір на повзунках:

Швидка перевірка

Достатньо перевірити, що найбільша сторона менша за суму двох інших.

Ідея нерівності геометрично очевидна: найкоротший шлях між двома точками — відрізок, тому пройти з AA до BB навпростець завжди коротше, ніж через проміжну вершину CC. Якщо ж найдовша сторона дорівнює сумі двох інших, «трикутник» вироджується у відрізок.

Приклад 3 — чи існує трикутник

Чи існує трикутник зі сторонами 44, 99 і 55?

  1. Знаходимо найбільшу сторону: це 99;
  2. порівнюємо із сумою двох інших: 4+5=94 + 5 = 9;
  3. потрібна строга нерівність 9<99 < 9, а вона хибна.

Відповідь: не існує — точки лежать на одній прямій. Якби третя сторона була 5,55{,}5, трикутник уже існував би: 9<4+5,5=9,59 < 4 + 5{,}5 = 9{,}5.

Типові помилки

  • Перевіряють нерівність трикутника лише для однієї пари сторін. Достатньо однієї перевірки, але саме для найбільшої сторони. Якщо взяти навмання, умова може виконатися й для неіснуючого трикутника.
  • Плутають нестрогу нерівність зі строгою. Рівність c=a+bc = a + b трикутника не дає — фігура вироджується у відрізок.
  • У рівнобедреному трикутнику плутають, який кут заданий. «Кут при вершині» й «кут при основі» дають різні рівняння. Якщо в умові просто «один із кутів», задача може мати два розв'язки — розглянь обидва випадки.
  • Вважають, що висота завжди всередині трикутника. У тупокутному це не так.
  • Прикладають властивість зовнішнього кута до сусіднього внутрішнього. Зовнішній кут дорівнює сумі двох не суміжних із ним внутрішніх кутів.

Перевір себе

Порада щодо вводу

У задачах про кути вводь лише число градусів (без «°»). Для типу трикутника та питань «чи можна» натисни потрібний варіант.

Завдання формату НМТ

Завдання в тому вигляді, як їх дають на національному мультипредметному тесті: вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), установлення відповідності та коротка відповідь десятковим дробом. Там, де є позначка «Прототип», задачу побудовано за типом реального завдання НМТ минулих років; числа в умові щоразу нові.

  • Зовнішній кут трикутника

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2024 · зошит 1 · №2

  • Правильні твердження про трикутник

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2025 · зошит 1 · №10 · Прототип: НМТ 2024 · зошит 2 · №10

  • Відповідність: відрізок рівнобедреного трикутника ↔ довжина

    Відповідність · Прототип: НМТ 2023 · зошит 2 · №18

  • Кути трикутника у відношенні

    Коротка відповідь

Приклади розв’язання завдань НМТ

Так розв’язують завдання формату НМТ із цієї теми — по одному прикладу на кожен формат: вибір відповіді, відповідність, коротка відповідь. У розділі «Завдання формату НМТ» числа щоразу нові, а тут кожен крок розписано.

  1. 1Зовнішній кут трикутника
    Вибір А–Д
    Прототип: НМТ 2024 · зошит 1 · №2
    Зовнішній кут при вершині A A трикутника ABC ABC дорівнює 160∘, ∠C=35∘. 160^\circ,\ \angle C = 35^\circ. Визначте градусну міру кута B. B.
    • А195∘195^\circ
    • Б145∘145^\circ
    • В55∘55^\circ
    • Г20∘20^\circ
    • Д125∘125^\circ
    Зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним.
    Показати розв’язання
    1. 1
      ∠B=160∘−35∘=125∘\angle B = 160^\circ - 35^\circ = 125^\circ
    Відповідь: Д) 125∘ 125^\circ
  2. 2Відповідність: відрізок рівнобедреного трикутника ↔ довжина
    Відповідність
    Прототип: НМТ 2023 · зошит 2 · №18
    Периметр рівнобедреного трикутника ABC (AB=BC) ABC\ (AB = BC) дорівнює 36 36 см, AB=10 AB = 10 см. Точка M M — середина AC AC, N N — середина BC. BC. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А–Д).
    А66 см
    Б1616 см
    В1818 см
    Г88 см
    Д55 см
    • 1.медіана BM BM
    • 2.відрізок AM AM
    • 3.основа AC AC
    Медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є його висотою.
    Показати розв’язання
    1. 1
      1 — А: 102−82=6 \sqrt{10^2 - 8^2} = 6
    2. 2
      2 — Г: 162=8 \dfrac{16}{2} = 8
    3. 3
      3 — Б: 36−2⋅10=16 36 - 2\cdot10 = 16
    Відповідь:
    • 1 — А: медіана BM  →  6 BM \;\to\; 6 см
    • 2 — Г: відрізок AM  →  8 AM \;\to\; 8 см
    • 3 — Б: основа AC  →  16 AC \;\to\; 16 см
  3. 3Кути трикутника у відношенні
    Коротка відповідь
    Кути трикутника відносяться як 7:1:1. 7 : 1 : 1. Знайдіть градусну міру найбільшого кута.
    Сума кутів трикутника — 180∘. 180^\circ.
    Показати розв’язання
    1. 1
      180∘:9=20∘180^\circ : 9 = 20^\circ
    2. 2
      7⋅20∘=140∘7\cdot 20^\circ = 140^\circ
    Відповідь: 140140