Трикутники та їх основні властивості

Трикутник — найпростіша замкнена фігура на площині й водночас основа всієї планіметрії: будь-який многокутник можна розрізати на трикутники, тому властивості трикутника працюють і в задачах про чотирикутники, і в стереометрії. На НМТ ця тема майже ніколи не трапляється «в чистому вигляді» — набагато частіше сума кутів чи нерівність трикутника є одним кроком у більшій задачі. Тому тут важливо не так вивчити формули, як навчитися бачити, яка з властивостей дає потрібне рівняння.

Елементи та види трикутників

Трикутник — фігура з трьох точок (вершин), не на одній прямій, і трьох відрізків (сторін). За сторонами трикутники бувають:

різносторонній — усі сторони різні;
рівнобедрений — дві сторони рівні (бічні), третя — основа;
рівносторонній — усі три сторони рівні.

За кутами — гострокутний, прямокутний, тупокутний.

Ці дві класифікації незалежні: трикутник може бути одночасно рівнобедреним і прямокутним (кути $90°$ , $45°$ , $45°$ ) або рівнобедреним і тупокутним. А от рівносторонній завжди гострокутний — усі його кути по $60°$ .

Сума кутів трикутника

Найважливіша властивість:

$\alpha + \beta + \gamma = 180°.$

Порухай повзунки двох кутів — третій обчислюється сам, а трикутник змінює форму й тип:

Наслідок

У рівносторонньому трикутнику всі кути по $60°$ . У рівнобедреному кути при основі рівні.

З цієї рівності одразу випливає, що тупий кут у трикутнику може бути лише один: два кути, більші за $90°$ , дали б у сумі понад $180°$ ще до того, як ми додали третій. Так само не буває трикутника з двома прямими кутами.

Приклад 1 — кути рівнобедреного трикутника

Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює $40°$ . Знайдемо кути при основі.

Позначимо кожен кут при основі через $x$ — вони рівні;
складаємо рівняння за сумою кутів: $40° + x + x = 180°$ ;
звідси $2x = 140°$ , отже $x = 70°$ .

Відповідь: кути при основі по $70°$ . Перевірка: $40 + 70 + 70 = 180$ . ✅

Зовнішній кут

Зовнішній кут трикутника (суміжний із внутрішнім) дорівнює сумі двох інших внутрішніх кутів:

$\gamma_{\text{зовн}} = \alpha + \beta.$

Чому так? Зовнішній кут доповнює свій внутрішній до $180°$ , тобто $\gamma_{\text{зовн}} = 180° - \gamma$ . Але й сума двох інших кутів дорівнює $180° - \gamma$ за теоремою про суму кутів. Отже, ці величини рівні.

Приклад 2 — зовнішній кут

Зовнішній кут трикутника дорівнює $115°$ , а один із внутрішніх кутів, не суміжних із ним, — $60°$ . Знайдемо два інших внутрішніх кути.

За властивістю зовнішнього кута: $115° = 60° + \beta$ , звідси $\beta = 55°$ ;
внутрішній кут, суміжний із зовнішнім: $180° - 115° = 65°$ .

Відповідь: $55°$ і $65°$ . Перевірка: $60 + 55 + 65 = 180$ . ✅

Медіана, бісектриса, висота

Медіана сполучає вершину із серединою протилежної сторони;
бісектриса ділить кут навпіл;
висота — перпендикуляр із вершини до прямої протилежної сторони.

Кожен трикутник має по три таких відрізки, і кожна трійка перетинається в одній точці. Особливо корисний окремий випадок: у рівнобедреному трикутнику медіана, бісектриса й висота, проведені з вершини до основи, — це той самий відрізок. Саме тому задачі про рівнобедрений трикутник майже завжди зводяться до прямокутного: така висота розрізає його на два рівні прямокутні трикутники.

Висота не завжди всередині

У тупокутному трикутнику дві з трьох висот падають на продовження сторін, тобто лежать поза фігурою. Тому у формулюванні сказано «до прямої протилежної сторони», а не «до сторони».

Нерівність трикутника

Трикутник існує тоді й лише тоді, коли кожна сторона менша за суму двох інших:

$a < b + c, \quad b < a + c, \quad c < a + b.$

Перевір на повзунках:

Швидка перевірка

Достатньо перевірити, що найбільша сторона менша за суму двох інших.

Ідея нерівності геометрично очевидна: найкоротший шлях між двома точками — відрізок, тому пройти з $A$ до $B$ навпростець завжди коротше, ніж через проміжну вершину $C$ . Якщо ж найдовша сторона дорівнює сумі двох інших, «трикутник» вироджується у відрізок.

Приклад 3 — чи існує трикутник

Чи існує трикутник зі сторонами $4$ , $9$ і $5$ ?

Знаходимо найбільшу сторону: це $9$ ;
порівнюємо із сумою двох інших: $4 + 5 = 9$ ;
потрібна строга нерівність $9 < 9$ , а вона хибна.

Відповідь: не існує — точки лежать на одній прямій. Якби третя сторона була $5{,}5$ , трикутник уже існував би: $9 < 4 + 5{,}5 = 9{,}5$ .

Типові помилки

Перевіряють нерівність трикутника лише для однієї пари сторін. Достатньо однієї перевірки, але саме для найбільшої сторони. Якщо взяти навмання, умова може виконатися й для неіснуючого трикутника.
Плутають нестрогу нерівність зі строгою. Рівність $c = a + b$ трикутника не дає — фігура вироджується у відрізок.
У рівнобедреному трикутнику плутають, який кут заданий. «Кут при вершині» й «кут при основі» дають різні рівняння. Якщо в умові просто «один із кутів», задача може мати два розв'язки — розглянь обидва випадки.
Вважають, що висота завжди всередині трикутника. У тупокутному це не так.
Прикладають властивість зовнішнього кута до сусіднього внутрішнього. Зовнішній кут дорівнює сумі двох не суміжних із ним внутрішніх кутів.

Перевір себе

Порада щодо вводу

У задачах про кути вводь лише число градусів (без «°»). Для типу трикутника та питань «чи можна» натисни потрібний варіант.