Координати і вектори на площині

Координатний метод переводить геометрію в алгебру: точки стають парами чисел, відрізки — різницями, а питання про перпендикулярність — рівнянням. Це найнадійніший спосіб розв'язувати геометричні задачі на НМТ, бо він майже не залежить від акуратності рисунка. Вектори додають до цього ще один шар — вони кодують не лише довжину, а й напрям.

Координати точок

У прямокутній системі координат кожна точка задається парою чисел $(x;\,y)$. Для двох точок $A(x_1;y_1)$ і $B(x_2;y_2)$:

$d = AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}, \qquad M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right),$

де $d$ — відстань між точками, а $M$ — середина відрізка $AB$.

Формула відстані — це теорема Піфагора в координатах: різниці $x_2 - x_1$ і $y_2 - y_1$ є катетами прямокутного трикутника, а сам відрізок $AB$ — його гіпотенузою. Тому в різницях порядок не важливий: вони однаково підносяться до квадрата.

А от середина відрізка — це середнє арифметичне координат, тут ніяких квадратів немає. Плутати ці дві формули — типова помилка.

Вектори

Вектор $\vec{AB}$ має координати $(x_2-x_1;\,y_2-y_1)$ — різниці координат кінця й початку. Модуль (довжина) вектора $\vec{a}(x;y)$:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}.$

Дії з векторами виконують покоординатно:

$\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2;\ y_1 \pm y_2), \qquad k\vec{a} = (kx;\ ky).$

Порядок «кінець мінус початок» принциповий: вектори $\vec{AB}$ і $\vec{BA}$ мають протилежні координати, бо це той самий відрізок, пройдений у різні боки. Довжина ж у них однакова.

Скалярний добуток

Скалярний добуток двох векторів — число:

$\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi,$

де $\varphi$ — кут між векторами. Звідси зручний критерій перпендикулярності:

$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b} = 0.$

Результат скалярного добутку — саме число, а не вектор. Його знак одразу каже про кут: додатний — кут гострий, від'ємний — тупий, нуль — прямий. Це дозволяє визначати вид кута, взагалі не обчислюючи його.

Друга форма запису дає й спосіб знайти сам кут:

$\cos\varphi = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}.$

Колінеарність

Вектори $\vec{a}(x_1;y_1)$ і $\vec{b}(x_2;y_2)$ колінеарні (паралельні), якщо їхні координати пропорційні, тобто

$x_1 y_2 - y_1 x_2 = 0.$

Дві умови теми зручно тримати поруч, бо їх легко переплутати:

Типові помилки

• Плутають формули відстані й середини. У відстані — різниці й корінь, у середині — суми й ділення на два.
• Беруть координати вектора як «початок мінус кінець». Правило одне: кінець мінус початок.
• Плутають умови перпендикулярності й колінеарності. Перша — сума добутків однойменних координат, друга — різниця «навхрест».
• Вважають скалярний добуток вектором. Це число, і питання «які його координати» не має сенсу.
• Забувають корінь у модулі вектора. Вираз $x^2 + y^2$ — це квадрат довжини.

Перевір себе