НМТ Математика

Координати і вектори у просторі

Перехід від площини до простору коштує напрочуд дешево: до кожної формули просто додається третій доданок. Якщо ти впевнено працюєш із векторами на площині, ця тема забере кілька хвилин. Її головна цінність для НМТ у тому, що вона дає обчислювальний спосіб відповідати на просторові питання — про довжини, кути й перпендикулярність — без жодних рисунків, які в стереометрії малювати найважче.

Координати у просторі

Простір задають трьома взаємно перпендикулярними осями OxOx, OyOy, OzOz. Кожна точка — трійка (x; y; z)(x;\,y;\,z). Вектор a⃗\vec{a} теж має три координати (x; y; z)(x;\,y;\,z); для двох точок A(x1;y1;z1)A(x_1;y_1;z_1) і B(x2;y2;z2)B(x_2;y_2;z_2) вектор AB⃗=(x2−x1; y2−y1; z2−z1)\vec{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1).

Модуль (довжина) вектора — просторовий аналог теореми Піфагора:

∣a⃗∣=x2+y2+z2.|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

Формула виводиться подвійним застосуванням теореми Піфагора — так само, як діагональ прямокутного паралелепіпеда. Спершу знаходять проєкцію вектора на площину OxyOxy, а це x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}; потім разом із координатою zz дістають повну довжину.

Дії з векторами виконують покоординатно, як і на площині:

a⃗±b⃗=(x1±x2; y1±y2; z1±z2),ka⃗=(kx; ky; kz).\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2;\ y_1 \pm y_2;\ z_1 \pm z_2), \qquad k\vec{a} = (kx;\ ky;\ kz).

Приклад 1 — довжина вектора між точками

Дано точки A(1; −2; 3)A(1;\,-2;\,3) і B(4; 2; 15)B(4;\,2;\,15). Знайдемо вектор AB⃗\vec{AB} і його довжину.

  1. Координати вектора — «кінець мінус початок»: AB⃗=(4−1; 2−(−2); 15−3)=(3; 4; 12)\vec{AB} = (4-1;\ 2-(-2);\ 15-3) = (3;\ 4;\ 12);
  2. довжина: ∣AB⃗∣=32+42+122=9+16+144=169|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169};
  3. отже ∣AB⃗∣=13|\vec{AB}| = 13.

Відповідь: AB⃗(3; 4; 12)\vec{AB}(3;\,4;\,12), довжина 1313. Трійка (3,4,12,13)(3,4,12,13) — просторовий аналог пифагорових трійок, її часто беруть для задач.

Скалярний добуток

a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2=∣a⃗∣ ∣b⃗∣cos⁡φ.\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi.

Звідси — критерій перпендикулярності:

a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0.\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b} = 0.

Косинус кута між векторами

cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣ ∣b⃗∣\cos\varphi = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}. Якщо скалярний добуток додатний — кут гострий, від'ємний — тупий, нульовий — прямий.

Саме цей критерій робить координатний метод таким зручним у стереометрії. Питання «чи перпендикулярні ці два ребра» вимагало б побудов і доведень, а в координатах воно зводиться до трьох множень і двох додавань.

Приклад 2 — кут між векторами

Знайдемо кут між векторами a⃗(1; 2; 2)\vec{a}(1;\,2;\,2) і b⃗(0; 3; 4)\vec{b}(0;\,3;\,4).

  1. Скалярний добуток: 1⋅0+2⋅3+2⋅4=0+6+8=141\cdot0 + 2\cdot3 + 2\cdot4 = 0 + 6 + 8 = 14;
  2. довжини: ∣a⃗∣=1+4+4=3|\vec{a}| = \sqrt{1+4+4} = 3, ∣b⃗∣=0+9+16=5|\vec{b}| = \sqrt{0+9+16} = 5;
  3. косинус кута: cos⁡φ=143⋅5=1415\cos\varphi = \dfrac{14}{3 \cdot 5} = \dfrac{14}{15};
  4. добуток додатний, тож кут гострий: φ=arccos⁡1415≈21,0°\varphi = \arccos\dfrac{14}{15} \approx 21{,}0°.

Відповідь: cos⁡φ=1415\cos\varphi = \dfrac{14}{15}.

Колінеарність

Вектори колінеарні (паралельні), якщо їхні координати пропорційні:

a⃗∥b⃗  ⟺  x2x1=y2y1=z2z1.\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{y_2}{y_1} = \dfrac{z_2}{z_1}.

Це рівносильно тому, що b⃗=ka⃗\vec{b} = k\vec{a} для деякого числа kk.

На практиці зручніше не ділити, а перевіряти рівність відношень «навхрест» — тоді нульові координати не заважають. Досить переконатися, що всі три відношення дають те саме число kk: якщо хоч одне випадає, вектори не колінеарні.

Приклад 3 — перевірка колінеарності

Чи колінеарні вектори a⃗(2; −3; 4)\vec{a}(2;\,-3;\,4) і b⃗(−6; 9; −12)\vec{b}(-6;\,9;\,-12)?

  1. Ділимо покоординатно: −62=−3\dfrac{-6}{2} = -3;
  2. 9−3=−3\dfrac{9}{-3} = -3;
  3. −124=−3\dfrac{-12}{4} = -3;
  4. усі три відношення однакові, отже b⃗=−3 a⃗\vec{b} = -3\,\vec{a}.

Відповідь: колінеарні. Від'ємний коефіцієнт означає, що вектори спрямовані протилежно.

Типові помилки

  • Забувають третій доданок. Найчастіша помилка теми: рахують довжину як x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}, за звичкою з площини.
  • Плутають координати вектора з координатами точки. Вектор — це різниця координат кінця й початку, а не самі координати.
  • Вважають скалярний добуток вектором. Результат — число.
  • Перевіряють колінеарність лише за двома координатами. Потрібна рівність усіх трьох відношень.
  • Плутають критерії. Нульовий скалярний добуток означає перпендикулярність, а пропорційність координат — паралельність. Це протилежні ситуації.

Перевір себе

Завдання формату НМТ

Завдання в тому вигляді, як їх дають на національному мультипредметному тесті: вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), установлення відповідності та коротка відповідь десятковим дробом. Там, де є позначка «Прототип», задачу побудовано за типом реального завдання НМТ минулих років; числа в умові щоразу нові.

  • Сума й різниця векторів у просторі

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2023 · зошит 1 · №5 · Прототип: НМТ 2023 · зошит 2 · №5

  • Довжина вектора у просторі

    Вибір А–Д

  • Точка, симетрична відносно точки

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2025 · зошит 1 · №8

  • Скалярний добуток у просторі

    Коротка відповідь

Приклади розв’язання завдань НМТ

Так розв’язують завдання формату НМТ із цієї теми — по одному прикладу на кожен формат: вибір відповіді, відповідність, коротка відповідь. У розділі «Завдання формату НМТ» числа щоразу нові, а тут кожен крок розписано.

  1. 1Сума й різниця векторів у просторі
    Вибір А–Д
    Прототип: НМТ 2023 · зошит 1 · №5
    Прототип: НМТ 2023 · зошит 2 · №5
    Визначте координати вектора, який є сумою векторів a⃗(6; −5; −6) \vec{a}(6;\ -5;\ -6) і b⃗(1; −3; −4). \vec{b}(1;\ -3;\ -4).
    • А(−7; −8; −10)(-7;\ -8;\ -10)
    • Б(5; −2; −2)(5;\ -2;\ -2)
    • В(7; −8; −10)(7;\ -8;\ -10)
    • Г(7; −8; 10)(7;\ -8;\ 10)
    • Д(−5; 2; 2)(-5;\ 2;\ 2)
    Дії з векторами виконують покоординатно.
    Показати розв’язання
    1. 1
      a⃗+b⃗=(7; −8; −10)\vec{a} + \vec{b} = (7;\ -8;\ -10)
    Відповідь: В) (7; −8; −10) (7;\ -8;\ -10)
  2. 2Точка, симетрична відносно точки
    Вибір А–Д
    Прототип: НМТ 2025 · зошит 1 · №8
    У прямокутній системі координат у просторі задано точки A(−6; 3; 4) A(-6;\ 3;\ 4) і B(−9; 4; 6). B(-9;\ 4;\ 6). Визначте точку C C, симетричну точці A A відносно точки B. B.
    • А(−12; 5; 8)(-12;\ 5;\ 8)
    • Б(−3; 2; 2)(-3;\ 2;\ 2)
    • В(−12; 5; −8)(-12;\ 5;\ -8)
    • Г(−3; 1; 2)(-3;\ 1;\ 2)
    • Д(−15; 7; 10)(-15;\ 7;\ 10)
    BB — середина відрізка AC AC, тож C=2B−A. C = 2B - A.
    Показати розв’язання
    1. 1
      C=(−18; 8; 12)−(−6; 3; 4)=(−12; 5; 8)C = (-18;\ 8;\ 12) - (-6;\ 3;\ 4) = (-12;\ 5;\ 8)
    Відповідь: А) (−12; 5; 8) (-12;\ 5;\ 8)
  3. 3Скалярний добуток у просторі
    Коротка відповідь
    Дано вектори a⃗(−4; −2; −1) \vec{a}(-4;\ -2;\ -1) і b⃗(5; −4; −4). \vec{b}(5;\ -4;\ -4). Обчисліть 2a⃗⋅b⃗. 2\vec{a}\cdot\vec{b}.
    a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2.\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2.
    Показати розв’язання
    1. 1
      2⋅(−4⋅5+−2⋅(−4)+−1⋅(−4))=−162\cdot(-4\cdot5 + -2\cdot(-4) + -1\cdot(-4)) = -16
    Відповідь: −16-16