НМТ Математика

Координати і вектори у просторі

Перехід від площини до простору коштує напрочуд дешево: до кожної формули просто додається третій доданок. Якщо ти впевнено працюєш із векторами на площині, ця тема забере кілька хвилин. Її головна цінність для НМТ у тому, що вона дає обчислювальний спосіб відповідати на просторові питання — про довжини, кути й перпендикулярність — без жодних рисунків, які в стереометрії малювати найважче.

Координати у просторі

Простір задають трьома взаємно перпендикулярними осями OxOx, OyOy, OzOz. Кожна точка — трійка (x; y; z)(x;\,y;\,z). Вектор a⃗\vec{a} теж має три координати (x; y; z)(x;\,y;\,z); для двох точок A(x1;y1;z1)A(x_1;y_1;z_1) і B(x2;y2;z2)B(x_2;y_2;z_2) вектор AB⃗=(x2−x1; y2−y1; z2−z1)\vec{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1).

Модуль (довжина) вектора — просторовий аналог теореми Піфагора:

∣a⃗∣=x2+y2+z2.|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

Формула виводиться подвійним застосуванням теореми Піфагора — так само, як діагональ прямокутного паралелепіпеда. Спершу знаходять проєкцію вектора на площину OxyOxy, а це x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}; потім разом із координатою zz дістають повну довжину.

Дії з векторами виконують покоординатно, як і на площині:

a⃗±b⃗=(x1±x2; y1±y2; z1±z2),ka⃗=(kx; ky; kz).\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2;\ y_1 \pm y_2;\ z_1 \pm z_2), \qquad k\vec{a} = (kx;\ ky;\ kz).

Приклад 1 — довжина вектора між точками

Дано точки A(1; −2; 3)A(1;\,-2;\,3) і B(4; 2; 15)B(4;\,2;\,15). Знайдемо вектор AB⃗\vec{AB} і його довжину.

  1. Координати вектора — «кінець мінус початок»: AB⃗=(4−1; 2−(−2); 15−3)=(3; 4; 12)\vec{AB} = (4-1;\ 2-(-2);\ 15-3) = (3;\ 4;\ 12);
  2. довжина: ∣AB⃗∣=32+42+122=9+16+144=169|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169};
  3. отже ∣AB⃗∣=13|\vec{AB}| = 13.

Відповідь: AB⃗(3; 4; 12)\vec{AB}(3;\,4;\,12), довжина 1313. Трійка (3,4,12,13)(3,4,12,13) — просторовий аналог пифагорових трійок, її часто беруть для задач.

Скалярний добуток

a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2=∣a⃗∣ ∣b⃗∣cos⁡φ.\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi.

Звідси — критерій перпендикулярності:

a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0.\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b} = 0.

Косинус кута між векторами

cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣ ∣b⃗∣\cos\varphi = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}. Якщо скалярний добуток додатний — кут гострий, від'ємний — тупий, нульовий — прямий.

Саме цей критерій робить координатний метод таким зручним у стереометрії. Питання «чи перпендикулярні ці два ребра» вимагало б побудов і доведень, а в координатах воно зводиться до трьох множень і двох додавань.

Приклад 2 — кут між векторами

Знайдемо кут між векторами a⃗(1; 2; 2)\vec{a}(1;\,2;\,2) і b⃗(0; 3; 4)\vec{b}(0;\,3;\,4).

  1. Скалярний добуток: 1⋅0+2⋅3+2⋅4=0+6+8=141\cdot0 + 2\cdot3 + 2\cdot4 = 0 + 6 + 8 = 14;
  2. довжини: ∣a⃗∣=1+4+4=3|\vec{a}| = \sqrt{1+4+4} = 3, ∣b⃗∣=0+9+16=5|\vec{b}| = \sqrt{0+9+16} = 5;
  3. косинус кута: cos⁡φ=143⋅5=1415\cos\varphi = \dfrac{14}{3 \cdot 5} = \dfrac{14}{15};
  4. добуток додатний, тож кут гострий: φ=arccos⁡1415≈21,0°\varphi = \arccos\dfrac{14}{15} \approx 21{,}0°.

Відповідь: cos⁡φ=1415\cos\varphi = \dfrac{14}{15}.

Колінеарність

Вектори колінеарні (паралельні), якщо їхні координати пропорційні:

a⃗∥b⃗  ⟺  x2x1=y2y1=z2z1.\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{y_2}{y_1} = \dfrac{z_2}{z_1}.

Це рівносильно тому, що b⃗=ka⃗\vec{b} = k\vec{a} для деякого числа kk.

На практиці зручніше не ділити, а перевіряти рівність відношень «навхрест» — тоді нульові координати не заважають. Досить переконатися, що всі три відношення дають те саме число kk: якщо хоч одне випадає, вектори не колінеарні.

Приклад 3 — перевірка колінеарності

Чи колінеарні вектори a⃗(2; −3; 4)\vec{a}(2;\,-3;\,4) і b⃗(−6; 9; −12)\vec{b}(-6;\,9;\,-12)?

  1. Ділимо покоординатно: −62=−3\dfrac{-6}{2} = -3;
  2. 9−3=−3\dfrac{9}{-3} = -3;
  3. −124=−3\dfrac{-12}{4} = -3;
  4. усі три відношення однакові, отже b⃗=−3 a⃗\vec{b} = -3\,\vec{a}.

Відповідь: колінеарні. Від'ємний коефіцієнт означає, що вектори спрямовані протилежно.

Типові помилки

  • Забувають третій доданок. Найчастіша помилка теми: рахують довжину як x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}, за звичкою з площини.
  • Плутають координати вектора з координатами точки. Вектор — це різниця координат кінця й початку, а не самі координати.
  • Вважають скалярний добуток вектором. Результат — число.
  • Перевіряють колінеарність лише за двома координатами. Потрібна рівність усіх трьох відношень.
  • Плутають критерії. Нульовий скалярний добуток означає перпендикулярність, а пропорційність координат — паралельність. Це протилежні ситуації.

Перевір себе

Розібрані приклади

Так виглядають задачі цієї теми в тренажері. Тут вони розібрані повністю — у самому тренажері числа в умові щоразу нові, а розв’язання відкривається після вашої відповіді.

  1. Приклад 1. Модуль вектора у просторі

    Знайдіть модуль вектора a⃗(−8;−9;12). \vec{a}(-8;-9;12).

    Відповідь: 1717

    Розв'язання: ∣a⃗∣=64+81+144=289=17|\vec{a}| = \sqrt{64 + 81 + 144} = \sqrt{289} = 17

  2. Приклад 2. Скалярний добуток (простір)

    Знайдіть a⃗⋅b⃗, \vec{a}\cdot\vec{b}, якщо a⃗(−5;2;3), b⃗(−5;1;3). \vec{a}(-5;2;3), \ \vec{b}(-5;1;3).

    Відповідь: 3636

    Розв'язання: a⃗⋅b⃗=−5⋅−5+2⋅1+3⋅3=36\vec{a}\cdot\vec{b} = -5\cdot-5 + 2\cdot1 + 3\cdot3 = 36

  3. Приклад 3. Перпендикулярність векторів

    Чи перпендикулярні a⃗(−3;−1;−1) \vec{a}(-3;-1;-1) і b⃗(−3;−3;−1)? \vec{b}(-3;-3;-1)?
    • А)Так
    • Б)Ні

    Відповідь: Ні

    Розв'язання: a⃗⋅b⃗=−3⋅−3+−1⋅−3+−1⋅−1=13⇒\vec{a}\cdot\vec{b} = -3\cdot-3 + -1\cdot-3 + -1\cdot-1 = 13 \Rightarrow не ⊥ \perp