Числові послідовності

Прогресії описують два найпоширеніші способи, якими величина змінюється з кроком: або щоразу додається те саме число, або щоразу множиться на те саме число. Перший випадок — це рівномірне зростання (зарплата зростає на фіксовану суму), другий — відсоткове (вклад зростає на фіксований відсоток). На НМТ прогресії дають задачі і в явному вигляді, і замаскованими під сюжетні.

Що таке послідовність

Числова послідовність — це функція натурального аргументу: кожному номеру $n = 1, 2, 3, \dots$ відповідає член $a_n$. Записують $a_1, a_2, a_3, \dots$, де $a_n$ — загальний член (член із номером $n$).

Послідовність задають:

• формулою загального члена — напряму, наприклад $a_n = 2n - 1$ (непарні числа);
• рекурентно — через попередні члени, наприклад $a_1 = 1,\ a_{n+1} = a_n + 3$.

Різниця між цими способами практична: формула загального члена дозволяє одразу обчислити хоч сотий член, а рекурентна вимагає пройти всі попередні. Тому перший крок у більшості задач — перейти від рекурентного запису до явної формули.

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — послідовність, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому плюс стала $d$ (різниця): $a_{n+1} = a_n + d$.

$a_n = a_1 + (n-1)d, \qquad S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n.$

Наприклад, для $a_1 = 2,\ d = 3$: члени $2, 5, 8, 11, \dots$, а $a_{10} = 2 + 9\cdot3 = 29$.

Зверни увагу на множник $(n-1)$, а не $n$: щоб дійти від першого члена до $n$-го, кроків потрібно на один менше, ніж самих членів. Це джерело найчастішої помилки теми.

Формулу суми теж легко зрозуміти: $\dfrac{a_1 + a_n}{2}$ — це середнє арифметичне першого й останнього членів, і воно дорівнює середньому значенню всієї прогресії. Тому сума — це «середній член, помножений на кількість членів».

Геометрична прогресія

Геометрична прогресія — послідовність, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на сталу $q \ne 0$ (знаменник): $b_{n+1} = b_n\cdot q$.

$b_n = b_1\cdot q^{\,n-1}.$

Наприклад, для $b_1 = 3,\ q = 2$: члени $3, 6, 12, 24, \dots$, а $b_5 = 3\cdot2^4 = 48$.

Показник степеня тут теж $(n-1)$ — з тієї самої причини, що й у арифметичній прогресії.

Порухай повзунки й простеж, як змінюються члени й графік:

Практична перевірка: обчисли різниці сусідніх членів і їхні відношення. Для послідовності $4, 12, 36, 108$ різниці ($8, 24, 72$) різні, а відношення однакові (всі по $3$) — отже, прогресія геометрична з $q = 3$.

Типові помилки

• Беруть $n$ замість $(n-1)$. У формулах $a_n = a_1 + (n-1)d$ і $b_n = b_1q^{n-1}$ показник на одиницю менший за номер.
• Плутають різницю зі знаменником. Різницю $d$ додають, знаменник $q$ множать.
• Множать суму на $n$ замість того, щоб брати півсуму. У формулі суми обов'язково є ділення на $2$.
• Забувають, що $q$ може бути від'ємним.
• Плутають номер члена з його значенням. Питання «який номер має член, що дорівнює $47$» і «чому дорівнює $47$-й член» — різні.

Перевір себе