Многокутники

Многокутники — це узагальнення всього, що ти вже знаєш про трикутники й чотирикутники. Замість окремих фактів для кожної фігури тут з'являються формули з параметром $n$, які працюють одразу для всіх. На НМТ ця тема дає короткі, але «технічні» задачі: знайти суму кутів, кут правильного многокутника, кількість діагоналей або, навпаки, відновити кількість сторін за однією з цих величин.

Основні поняття

Многокутник — замкнена ламана без самоперетинів разом із обмеженою нею частиною площини. Його вершини, сторони й кути позначають за вершинами. Многокутник називають опуклим, якщо він лежить по один бік від кожної прямої, що містить його сторону (усі внутрішні кути менші за $180°$); інакше — неопуклим.

$n$-кутник має $n$ вершин, $n$ сторін і $n$ внутрішніх кутів.

Сума кутів

Будь-який опуклий $n$-кутник діагоналями з однієї вершини розбивається на $(n-2)$ трикутники, тому сума внутрішніх кутів:

$S = (n-2)\cdot 180^\circ.$

Чому саме $(n-2)$? З обраної вершини діагоналі можна провести до всіх вершин, окрім неї самої та двох сусідніх, тобто до $(n-3)$ вершин. Ці $(n-3)$ діагоналі ділять фігуру на $(n-2)$ трикутники. Перевіримо на знайомих випадках: для трикутника $(3-2)\cdot180° = 180°$, для чотирикутника $(4-2)\cdot180° = 360°$ — усе збігається з тим, що ми знаємо.

Сума зовнішніх кутів (по одному при кожній вершині) будь-якого опуклого многокутника стала:

$S_{\text{зовн}} = 360^\circ.$

Ця сталість спершу дивує: у трикутника й у стокутника сума зовнішніх кутів однакова. Наочне пояснення — обхід по периметру: пройшовши фігуру повністю, ти повертаєшся в початкову точку, дивлячись у той самий бік, тобто сумарно повернувся рівно на один повний оберт, $360°$.

Правильний многокутник

Правильний многокутник має всі сторони й усі кути рівні. Тоді один внутрішній кут:

$\alpha = \dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}.$

Наприклад, у правильного шестикутника $\alpha = \dfrac{4\cdot180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Формула — просто сума кутів, поділена на їхню кількість; окремо її запам'ятовувати не треба. Часто швидше рахувати через зовнішній кут: він дорівнює $\dfrac{360°}{n}$, а внутрішній доповнює його до $180°$. Для шестикутника: $\dfrac{360°}{6} = 60°$, отже внутрішній $180° - 60° = 120°$ — той самий результат за два кроки замість трьох.

Варто пам'ятати кути найпоширеніших правильних многокутників: трикутник — $60°$, квадрат — $90°$, п'ятикутник — $108°$, шестикутник — $120°$, восьмикутник — $135°$.

Діагоналі

Діагональ сполучає дві несусідні вершини. З кожної вершини виходить $(n-3)$ діагоналей (не можна до себе й до двох сусідів), а всього:

$D = \dfrac{n(n-3)}{2}.$

Ділимо на $2$, бо кожну діагональ рахуємо двічі — з обох її кінців.

Перевірка формули на простих випадках: у трикутника $\dfrac{3 \cdot 0}{2} = 0$ діагоналей, у чотирикутника $\dfrac{4 \cdot 1}{2} = 2$, у п'ятикутника $\dfrac{5 \cdot 2}{2} = 5$. Усе сходиться з тим, що можна перерахувати на рисунку.

Типові помилки

• Забувають відняти двійку й рахують суму кутів як $n \cdot 180°$. Швидка перевірка: для чотирикутника має вийти $360°$, а не $720°$.
• Плутають суму кутів із кутом одного многокутника. Формула $(n-2)\cdot180°$ дає суму; щоб отримати один кут правильного многокутника, її ще треба поділити на $n$.
• Забувають поділити кількість діагоналей навпіл. Кожна діагональ виходить із двох вершин, тому без ділення відповідь буде вдвічі більшою.
• Застосовують формули до неопуклого многокутника. Формула суми зовнішніх кутів $360°$ і твердження «всі кути менші за $180°$» стосуються лише опуклих фігур.
• Не відкидають сторонній корінь. Рівняння на $n$ квадратне, і від'ємний або дробовий корінь геометричного змісту не має.

Перевір себе