Найпростіші геометричні фігури на площині

З цієї теми починається планіметрія, і саме тут закладається мова, якою описують усі подальші фігури. Задачі тут прості, але їхні прийоми — додавання відрізків і кутів, робота із суміжними та вертикальними кутами, кути при паралельних прямих — далі з'являтимуться всередині складніших задач про трикутники, чотирикутники й коло. Тому варто довести їх до автоматизму.

Точка, пряма, промінь, відрізок

Точка і пряма — основні неозначувані поняття геометрії. Через будь-які дві точки проходить єдина пряма.

Відрізок — частина прямої між двома точками (його кінцями).
Промінь — частина прямої, обмежена з одного боку початковою точкою.

Порівняй ці чотири фігури на рисунку — зверни увагу на стрілки (нескінченність) і кінці:

Якщо точка $C$ лежить між точками $A$ і $B$ , то довжини додаються:

$AB = AC + CB.$

Координатна пряма

Найзручніший спосіб «бачити» довжини — координатна пряма: кожній точці відповідає число (координата). Довжина відрізка — це різниця координат його кінців (від більшої віднімаємо меншу).

Приклад 1 — довжини на координатній прямій

На координатній прямій позначено точки $A(2)$ , $C(5)$ і $B(9)$ . Знайдемо всі відрізки:

$AC = 5 - 2 = 3$ — віднімаємо координати кінців;
$CB = 9 - 5 = 4$ ;
$AB = 9 - 2 = 7$ .

Перевірка: точка $C$ лежить між $A$ і $B$ , тому $AB = AC + CB = 3 + 4 = 7$ — усе збігається.

Та сама ідея працює і на координатній площині — там у точки вже дві координати: $A(x; y)$ . Якщо точки лежать на одній горизонталі (однакові $y$ ), довжину рахуємо за першими координатами.

Приклад 2 — відрізок на координатній площині

На координатній площині позначено точки $A(1; 3)$ , $C(4; 3)$ і $B(6; 3)$ . Усі три мають однакову ординату $y = 3$ , отже лежать на одній горизонтальній прямій.

$AB = 6 - 1 = 5$ — різниця абсцис;
$AC = 4 - 1 = 3$ , $CB = 6 - 4 = 2$ ;
знову $AC + CB = 3 + 2 = 5 = AB$ . ✅

Кут та його міра

Кут утворюють два промені зі спільною вершиною. Міряють кут у градусах. Порухай повзунок — зміняться промені, градусна міра й тип кута:

Види кутів за градусною мірою:

гострий — менший за $90°$ ;
прямий — рівно $90°$ ;
тупий — між $90°$ і $180°$ ;
розгорнутий — рівно $180°$ .

Якщо промінь $OC$ проходить між сторонами кута $AOB$ , то міри додаються (як довжини відрізків): $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$ . Бісектриса ділить кут навпіл.

Суміжні та вертикальні кути

Суміжні кути мають спільну сторону, а дві інші — доповняльні промені. Їхня сума:

$\alpha + \beta = 180°.$

Вертикальні кути утворюються при перетині двох прямих і рівні між собою.

Приклад 3 — суміжний кут

Один із суміжних кутів дорівнює $125°$ . Знайдемо другий:

суміжні кути разом утворюють розгорнутий кут, тому їхня сума $180°$ ;
другий кут $= 180° - 125° = 55°$ .

А якщо суміжні кути відносяться як $2:7$ ? Позначаємо їх $2k$ і $7k$ : $2k + 7k = 180°$ , звідки $k = 20°$ , і кути дорівнюють $40°$ та $140°$ .

Швидко

Знаєш один із суміжних кутів — віднімай від $180°$ , щоб знайти другий. Вертикальні кути просто рівні.

Паралельні прямі та січна

Коли січна перетинає дві паралельні прямі, утворюються пари рівних кутів. Порухай повзунок і простеж співвідношення:

відповідні кути рівні;
внутрішні різносторонні кути рівні;
односторонні внутрішні кути доповнюють одне одного до $180°$ .

Приклад 4 — кути при паралельних прямих

Прямі $a \parallel b$ , січна утворює з прямою $a$ кут $120°$ (див. рисунок нижче).

Відповідний кут при прямій $b$ лежить у такому самому положенні — він теж $120°$ ;
внутрішній різносторонній кут дорівнює даному — знову $120°$ ;
внутрішній односторонній доповнює даний до $180°$ : $180° - 120° = 60°$ .

Уважно

Рівність відповідних кутів виконується лише для паралельних прямих. Якщо прямі не паралельні — такого співвідношення немає.

Типові помилки

Додають відрізки, не перевіривши взаємне розташування точок. Рівність $AB = AC + CB$ справедлива лише тоді, коли $C$ лежить між $A$ і $B$ .
Плутають суміжні кути з вертикальними. Суміжні дають у сумі $180°$ , вертикальні просто рівні.
Застосовують властивості кутів при січній до непаралельних прямих.
Плутають внутрішні різносторонні кути з односторонніми. Перші рівні, другі доповнюють одне одного до $180°$ .
Рахують довжину відрізка на координатній прямій як суму координат замість їх різниці.

Перевір себе

Порада щодо вводу

У задачах із мірою кута вводь лише число градусів (без знака «°»). Для вибору типу кута натисни потрібний варіант. До кожної задачі є рисунок: даний кут позначено кольором, а шуканий — знаком «?».