НМТ Математика

Найпростіші геометричні фігури на площині

З цієї теми починається планіметрія, і саме тут закладається мова, якою описують усі подальші фігури. Задачі тут прості, але їхні прийоми — додавання відрізків і кутів, робота із суміжними та вертикальними кутами, кути при паралельних прямих — далі з'являтимуться всередині складніших задач про трикутники, чотирикутники й коло. Тому варто довести їх до автоматизму.

Точка, пряма, промінь, відрізок

Точка і пряма — основні неозначувані поняття геометрії. Через будь-які дві точки проходить єдина пряма.

  • Відрізок — частина прямої між двома точками (його кінцями).
  • Промінь — частина прямої, обмежена з одного боку початковою точкою.

Порівняй ці чотири фігури на рисунку — зверни увагу на стрілки (нескінченність) і кінці:

Якщо точка CC лежить між точками AA і BB, то довжини додаються:

AB=AC+CB.AB = AC + CB.

Координатна пряма

Найзручніший спосіб «бачити» довжини — координатна пряма: кожній точці відповідає число (координата). Довжина відрізка — це різниця координат його кінців (від більшої віднімаємо меншу).

Приклад 1 — довжини на координатній прямій

На координатній прямій позначено точки A(2)A(2), C(5)C(5) і B(9)B(9). Знайдемо всі відрізки:

  1. AC=5−2=3AC = 5 - 2 = 3 — віднімаємо координати кінців;
  2. CB=9−5=4CB = 9 - 5 = 4;
  3. AB=9−2=7AB = 9 - 2 = 7.

Перевірка: точка CC лежить між AA і BB, тому AB=AC+CB=3+4=7AB = AC + CB = 3 + 4 = 7 — усе збігається.

Та сама ідея працює і на координатній площині — там у точки вже дві координати: A(x;y)A(x; y). Якщо точки лежать на одній горизонталі (однакові yy), довжину рахуємо за першими координатами.

Приклад 2 — відрізок на координатній площині

На координатній площині позначено точки A(1;3)A(1; 3), C(4;3)C(4; 3) і B(6;3)B(6; 3). Усі три мають однакову ординату y=3y = 3, отже лежать на одній горизонтальній прямій.

  1. AB=6−1=5AB = 6 - 1 = 5 — різниця абсцис;
  2. AC=4−1=3AC = 4 - 1 = 3, CB=6−4=2CB = 6 - 4 = 2;
  3. знову AC+CB=3+2=5=ABAC + CB = 3 + 2 = 5 = AB. ✅

Кут та його міра

Кут утворюють два промені зі спільною вершиною. Міряють кут у градусах. Порухай повзунок — зміняться промені, градусна міра й тип кута:

Види кутів за градусною мірою:

  • гострий — менший за 90°90°;
  • прямий — рівно 90°90°;
  • тупий — між 90°90° і 180°180°;
  • розгорнутий — рівно 180°180°.

Якщо промінь OCOC проходить між сторонами кута AOBAOB, то міри додаються (як довжини відрізків): ∠AOB=∠AOC+∠COB\angle AOB = \angle AOC + \angle COB. Бісектриса ділить кут навпіл.

Суміжні та вертикальні кути

Суміжні кути мають спільну сторону, а дві інші — доповняльні промені. Їхня сума:

α+β=180°.\alpha + \beta = 180°.

Вертикальні кути утворюються при перетині двох прямих і рівні між собою.

Приклад 3 — суміжний кут

Один із суміжних кутів дорівнює 125°125°. Знайдемо другий:

  1. суміжні кути разом утворюють розгорнутий кут, тому їхня сума 180°180°;
  2. другий кут =180°−125°=55°= 180° - 125° = 55°.

А якщо суміжні кути відносяться як 2:72:7? Позначаємо їх 2k2k і 7k7k: 2k+7k=180°2k + 7k = 180°, звідки k=20°k = 20°, і кути дорівнюють 40°40° та 140°140°.

Швидко

Знаєш один із суміжних кутів — віднімай від 180°180°, щоб знайти другий. Вертикальні кути просто рівні.

Паралельні прямі та січна

Коли січна перетинає дві паралельні прямі, утворюються пари рівних кутів. Порухай повзунок і простеж співвідношення:

  • відповідні кути рівні;
  • внутрішні різносторонні кути рівні;
  • односторонні внутрішні кути доповнюють одне одного до 180°180°.
Приклад 4 — кути при паралельних прямих

Прямі a∥ba \parallel b, січна утворює з прямою aa кут 120°120° (див. рисунок нижче).

  1. Відповідний кут при прямій bb лежить у такому самому положенні — він теж 120°120°;
  2. внутрішній різносторонній кут дорівнює даному — знову 120°120°;
  3. внутрішній односторонній доповнює даний до 180°180°: 180°−120°=60°180° - 120° = 60°.
Уважно

Рівність відповідних кутів виконується лише для паралельних прямих. Якщо прямі не паралельні — такого співвідношення немає.

Типові помилки

  • Додають відрізки, не перевіривши взаємне розташування точок. Рівність AB=AC+CBAB = AC + CB справедлива лише тоді, коли CC лежить між AA і BB.
  • Плутають суміжні кути з вертикальними. Суміжні дають у сумі 180°180°, вертикальні просто рівні.
  • Застосовують властивості кутів при січній до непаралельних прямих.
  • Плутають внутрішні різносторонні кути з односторонніми. Перші рівні, другі доповнюють одне одного до 180°180°.
  • Рахують довжину відрізка на координатній прямій як суму координат замість їх різниці.

Перевір себе

Порада щодо вводу

У задачах із мірою кута вводь лише число градусів (без знака «°»). Для вибору типу кута натисни потрібний варіант. До кожної задачі є рисунок: даний кут позначено кольором, а шуканий — знаком «?».

Завдання формату НМТ

Завдання в тому вигляді, як їх дають на національному мультипредметному тесті: вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д), установлення відповідності та коротка відповідь десятковим дробом. Там, де є позначка «Прототип», задачу побудовано за типом реального завдання НМТ минулих років; числа в умові щоразу нові.

  • Кути між променями

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2023 · зошит 2 · №2

  • Кути при перетині прямих

    Вибір А–Д

  • Паралельні прямі й бісектриса

    Вибір А–Д · Прототип: НМТ 2022 · №5

  • Сума трьох кутів при перетині прямих

    Коротка відповідь

Приклади розв’язання завдань НМТ

Так розв’язують завдання формату НМТ із цієї теми — по одному прикладу на кожен формат: вибір відповіді, відповідність, коротка відповідь. У розділі «Завдання формату НМТ» числа щоразу нові, а тут кожен крок розписано.

  1. 1Паралельні прямі й бісектриса
    Вибір А–Д
    Прототип: НМТ 2022 · №5
    Прямі AB AB і CK CK паралельні, CB CB — бісектриса кута ACK. ACK. Визначте градусну міру кута ABC ABC, якщо ∠BAC=132∘. \angle BAC = 132^\circ.
    • А48∘48^\circ
    • Б66∘66^\circ
    • В132∘132^\circ
    • Г34∘34^\circ
    • Д24∘24^\circ
    Кути BAC BAC і ACK ACK — внутрішні односторонні; ∠ABC=∠BCK \angle ABC = \angle BCK як внутрішні різносторонні.
    Показати розв’язання
    1. 1
      ∠ACK=180∘−132∘=48∘\angle ACK = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ
    2. 2
      ∠BCK=24∘\angle BCK = 24^\circ
    3. 3
      ∠ABC=∠BCK=24∘\angle ABC = \angle BCK = 24^\circ
    Відповідь: Д) 24∘ 24^\circ
  2. 2Кути між променями
    Вибір А–Д
    Прототип: НМТ 2023 · зошит 2 · №2
    Із точки O O, яка лежить на прямій AB AB, проведено промені OM OM і OK OK (у тій самій півплощині, промінь OM OM ближчий до OB OB). Відомо, що ∠BOM=20∘, ∠MOK=65∘. \angle BOM = 20^\circ,\ \angle MOK = 65^\circ. Визначте градусну міру кута AOK. AOK.
    • А45∘45^\circ
    • Б160∘160^\circ
    • В85∘85^\circ
    • Г95∘95^\circ
    • Д115∘115^\circ
    ∠AOB\angle AOB — розгорнутий: ∠AOK+∠KOM+∠MOB=180∘. \angle AOK + \angle KOM + \angle MOB = 180^\circ.
    Показати розв’язання
    1. 1
      ∠AOK=180∘−20∘−65∘=95∘\angle AOK = 180^\circ - 20^\circ - 65^\circ = 95^\circ
    Відповідь: Г) 95∘ 95^\circ
  3. 3Сума трьох кутів при перетині прямих
    Коротка відповідь
    Сума трьох кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 211∘. 211^\circ. Знайдіть градусну міру четвертого кута.
    Сума всіх чотирьох кутів дорівнює 360∘. 360^\circ.
    Показати розв’язання
    1. 1
      360∘−211∘=149∘360^\circ - 211^\circ = 149^\circ
    Відповідь: 149149