Коло і круг

Коло — єдина крива, з якою працює шкільна геометрія, і водночас основа для тіл обертання, тригонометрії та координатної геометрії. На НМТ ця тема дає задачі двох типів: обчислювальні (довжина, площа, дуга) і логічні — на властивості вписаних кутів, де відповідь часто знаходять узагалі без обчислень.

Основні поняття

Коло — множина всіх точок площини, рівновіддалених від заданої точки (центра). Ця відстань — радіус $R$. Круг — частина площини, обмежена колом.

• Діаметр $d = 2R$ — хорда, що проходить через центр (найбільша хорда).
• Хорда — відрізок, що сполучає дві точки кола.
• Дуга — частина кола між двома його точками.

Різниця між колом і кругом та сама, що між сферою і кулею: коло — сама лінія, круг — лінія разом із внутрішньою частиною. Тому в кола є довжина, а в круга — площа.

Довжина кола і площа круга

$C = 2\pi R = \pi d, \qquad S = \pi R^2.$

Тут $\pi \approx 3{,}14159$ — стале відношення довжини кола до діаметра. Порухай радіус:

Центральний і вписаний кути

Центральний кут — кут із вершиною в центрі. Вписаний кут — кут із вершиною на колі, сторони якого — хорди. Головна властивість:

$\angle_{\text{впис}} = \dfrac{1}{2}\,\angle_{\text{центр}},$

якщо вони спираються на ту саму дугу. Зокрема, вписаний кут, що спирається на діаметр, — прямий ($90°$).

Із цієї властивості випливає ще один корисний наслідок: усі вписані кути, що спираються на одну дугу, рівні між собою — незалежно від того, де саме на колі лежить їхня вершина. Це дає готові пари рівних кутів у задачах на подібність трикутників.

Окремий випадок із діаметром варто запам'ятати як робочий інструмент: якщо в умові сказано, що трикутник вписаний у коло, а одна з його сторін — діаметр, то трикутник прямокутний, і далі працює теорема Піфагора.

Довжина дуги

Дуга з центральним кутом $\alpha$ — це $\dfrac{\alpha}{360^\circ}$ частина кола:

$l = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi R.$

Формула працює за принципом частки: яку частину повного кута становить $\alpha$, таку саму частину повної довжини кола становить дуга. Точно так само рахують площу сектора — лише замість довжини кола беруть площу круга.

Із перпендикулярності випливає стандартний прийом: якщо з точки поза колом проведено дотичну, то радіус у точку дотику, відрізок дотичної й відстань від точки до центра утворюють прямокутний трикутник. Довжину дотичної знаходять теоремою Піфагора.

Типові помилки

• Плутають радіус із діаметром. У формулах $C = 2\pi R$ і $S = \pi R^2$ стоїть радіус. Якщо в умові дано діаметр, спершу поділи його навпіл.
• Множать вписаний кут на два замість ділення. Удвічі більший — саме центральний.
• Застосовують властивість вписаного кута до кутів на різних дугах. Рівність працює лише для кутів, що спираються на ту саму дугу.
• Рахують частку дуги від $180°$. Повний кут — $360°$.
• Плутають довжину дуги з площею сектора. У довжині фігурує $2\pi R$, у площі — $\pi R^2$.

Перевір себе