Відстані та кути у просторі

Стереометрія починається з переліку того, як прямі й площини можуть бути розташовані одна щодо одної. Це найабстрактніша частина курсу, але саме з неї виростають усі подальші обчислення: щоб знайти кут між ребром і гранню чи відстань від вершини до площини, треба спершу побудувати правильний прямокутний трикутник. На НМТ ця тема дає переважно обчислювальні задачі — на діагональ паралелепіпеда, відстань між точками й кут нахилу.

Прямі й площини у просторі

У просторі дві прямі можуть перетинатися, бути паралельними або мимобіжними (не лежати в одній площині). Пряма і площина — паралельні, перетинаються або пряма лежить у площині. Дві площини або паралельні, або перетинаються по прямій.

Пряму називають перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до кожної прямої цієї площини (достатньо — до двох прямих, що перетинаються).

Мимобіжні прямі — те, чого немає на площині, і саме тому вони найменш звичні. Наочний приклад: у прямокутному паралелепіпеді ребро нижньої основи й непаралельне йому ребро верхньої основи мимобіжні — вони не перетинаються, але й не паралельні, бо лежать у різних площинах.

Уточнення в дужках («достатньо — до двох прямих, що перетинаються») робить означення робочим: перевіряти нескінченно багато прямих неможливо, а дві — цілком. Саме цією ознакою доводять, що висота піраміди перпендикулярна до основи.

Координати у просторі

Кожна точка задається трійкою $(x;\,y;\,z)$. Відстань між точками $A(x_1;y_1;z_1)$ і $B(x_2;y_2;z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}.$

Це — просторовий аналог формули відстані на площині (додається третя координата).

Діагональ прямокутного паралелепіпеда

Для паралелепіпеда з вимірами $a, b, c$ діагональ дорівнює:

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.$

Для куба (усі ребра рівні, $a=b=c$) формула спрощується:

$d = \sqrt{a^2+a^2+a^2} = a\sqrt{3}.$

Кут між прямою і площиною

Кут між прямою і площиною — це кут $\varphi$ між прямою та її проєкцією на площину ($0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$). Його знаходять із прямокутного трикутника «похила — проєкція — перпендикуляр»:

$\sin\varphi = \dfrac{\text{висота (перпендикуляр)}}{\text{похила}}, \qquad \cos\varphi = \dfrac{\text{проєкція}}{\text{похила}}.$

Якщо пряма лежить у площині, кут $= 0^\circ$; якщо перпендикулярна до неї — $90^\circ$.

Цей прямокутний трикутник — головний інструмент теми. У ньому похила завжди гіпотенуза (вона найдовша), а перпендикуляр і проєкція — катети. Звідси й корисне правило: з однієї точки коротша похила має коротшу проєкцію.

Двогранний кут

Двогранний кут — фігура з двох півплощин (граней) зі спільним ребром. Його величину вимірюють лінійним кутом — кутом між двома променями, що виходять із точки ребра перпендикулярно до нього в кожній грані. Якщо грані перпендикулярні, двогранний кут дорівнює $90^\circ$.

Ключове слово тут — перпендикулярно до ребра. Якщо взяти два промені абияк, дістанеш не той кут. Тому в задачах про двогранний кут перший крок завжди однаковий: побудувати лінійний кут, тобто знайти на ребрі точку й провести з неї два перпендикуляри.

Типові помилки

• Плутають діагональ грані з діагоналлю тіла. Для куба це $a\sqrt{2}$ проти $a\sqrt{3}$.
• Забувають третю координату у формулі відстані.
• Вважають мимобіжні прямі паралельними. Мимобіжні не лежать в одній площині, тому говорити про паралельність до них не можна.
• Беруть кут між прямою і площиною як кут із будь-якою прямою площини. Потрібен кут саме з проєкцією — він найменший із можливих.
• Будують лінійний кут двогранного кута не перпендикулярно до ребра.

Перевір себе