Показникова функція. Показникові рівняння і нерівності

Показникова функція описує все, що росте «у стільки-то разів за крок»: банківський вклад, популяцію, радіоактивний розпад. Її ключова відмінність від степеневої в тому, що змінна стоїть у показнику, а не в основі. Через це $x^2$ і $2^x$ поводяться зовсім по-різному — і плутати їх не можна.

Показникова функція

Показниковою називають функцію $y = a^x$, де основа $a > 0$, $a \ne 1$. Її властивості:

• область визначення — усі числа, область значень — $y > 0$ (графік завжди вище осі $Ox$);
• проходить через точку $(0;\,1)$, бо $a^0 = 1$;
• при $a > 1$ функція зростає, при $0 < a < 1$ — спадає.

Те, що $a^x > 0$ завжди, має практичний наслідок: рівняння на кшталт $2^x = -8$ чи $3^x = 0$ розв'язків не мають, і це видно одразу, без перетворень. Ще один наслідок — показникова функція строго монотонна, а отже, набуває кожного значення рівно один раз. Саме тому від рівності степенів можна переходити до рівності показників.

Показникові рівняння

Найпростіший спосіб — звести обидві частини до однакової основи й прирівняти показники:

$a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x) \quad (a > 0,\ a \ne 1).$

Наприклад, $2^x = 8 = 2^3 \Rightarrow x = 3$.

Корисні степені — вивчи напам'ять

Саме вони дають змогу миттєво «впізнати» число й звести рівняння до спільної основи:

Не забувай і про дробові та від'ємні степені: $\dfrac{1}{8} = 2^{-3}$, $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, $\dfrac{1}{9} = 3^{-2}$. Дуже часто «незручне» число в правій частині виявляється саме таким степенем.

Показникові нерівності

Розв'язуючи $a^{f(x)} \lessgtr a^{g(x)}$, порівнюють показники, але напрям знака залежить від основи:

$a > 1:\ a^{f} > a^{g} \iff f > g \quad (\text{знак зберігається});$

$0 < a < 1:\ a^{f} > a^{g} \iff f < g \quad (\text{знак змінюється}).$

Правило те саме, що й у логарифмічних нерівностях, і причина та сама — напрям монотонності. Якщо забув, у який бік розвертати знак, перевір на конкретних числах: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^1 = 0{,}5$, а $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = 0{,}125$. Більшому показнику відповідає менше значення, отже функція спадає.

Типові помилки

• Не розвертають знак нерівності при основі, меншій за одиницю.
• Плутають $a^x$ і $x^a$. У показниковій функції змінна — у показнику.
• Шукають розв'язки рівняння з від'ємною правою частиною. $a^x > 0$ завжди.
• Прирівнюють показники за різних основ. Спершу треба звести обидві частини до однієї основи.
• Помиляються в дії з показниками при піднесенні степеня до степеня. Тут показники множаться: $\left(2^{-1}\right)^x = 2^{-x}$.

Перевір себе