Елементи комбінаторики, ймовірності та статистики

Ця тема відрізняється від решти курсу тим, що тут майже немає формул для заучування — натомість потрібне вміння правильно поставити питання. Практично всі помилки в задачах на ймовірність зводяться до одного: неправильно порахували, скільки всього можливих результатів або скільки з них сприятливі. Тому головна навичка — акуратно описати, що саме вважається «результатом досліду».

Правило добутку й факторіал

Якщо перший вибір можна зробити $a$ способами, а другий (незалежно) — $b$ способами, то разом — $a\cdot b$ способів (правило добутку).

Факторіал $n!$ — добуток усіх натуральних чисел від $1$ до $n$:

$n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n, \qquad 0! = 1.$

Наприклад, $5! = 120$. Кількість перестановок $n$ елементів дорівнює $P_n = n!$.

Факторіали ростуть надзвичайно швидко: $5! = 120$, $10! = 3\,628\,800$. Тому в задачах їх майже ніколи не обчислюють повністю — натомість скорочують. Наприклад, $\dfrac{10!}{8!} = 10 \cdot 9 = 90$: усі множники до $8$ включно скоротилися.

Комбінації

Комбінації — це вибірки $k$ елементів із $n$ без урахування порядку. Їх кількість:

$C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}.$

Якщо ж порядок важливий, це розміщення $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)$. Зв'язок: $A_n^k = C_n^k\cdot k!$.

Числа $C_n^k$ утворюють трикутник Паскаля — кожне дорівнює сумі двох над ним:

Вибір між $C$ і $A$ — головне рішення в комбінаторній задачі. Питай себе: чи змінює справу порядок? Якщо обирають трьох учнів у команду — ні, тому комбінації. Якщо обирають капітана, заступника й скарбника — так, тому розміщення. Формальна ознака: якщо в умові є слова «перший», «другий», «різні посади», порядок важливий.

Корисна властивість, що економить час: $C_n^k = C_n^{n-k}$. Обрати $8$ предметів із $10$ — те саме, що обрати $2$, які лишаться; тому $C_{10}^{8} = C_{10}^{2} = 45$.

Класична ймовірність

Якщо всі результати досліду рівноможливі, ймовірність події дорівнює відношенню кількості сприятливих результатів $m$ до загальної кількості $n$:

$P = \dfrac{m}{n}, \qquad 0 \le P \le 1.$

Дуже корисний прийом — ймовірність протилежної події: $P(\text{не A}) = 1 - P(A)$. Коли в умові є слова «хоча б один», рахувати навпростець доводиться довго (один, два, три…), а от протилежна подія «жодного» зазвичай рахується одним виразом.

Статистика

Для набору чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$:

• середнє арифметичне $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$;
• мода — значення, що трапляється найчастіше;
• медіана — середнє значення впорядкованого набору.

Наприклад, для набору $2,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7$: мода $= 5$, медіана $= 5$ (третє число), середнє $= \dfrac{2+5+5+6+7}{5} = 5$.

Медіану шукають лише у впорядкованому ряді. Якщо чисел парна кількість, медіана — півсума двох середніх, і вона може не збігатися з жодним числом набору.

Типові помилки

• Плутають комбінації з розміщеннями. Питай себе, чи важливий порядок.
• Неправильно рахують загальну кількість результатів. Це найчастіша причина хибної ймовірності — сама формула при цьому застосована правильно.
• Дають ймовірність, більшу за одиницю. Це неможливо; така відповідь — сигнал помилки в підрахунку.
• Шукають медіану без упорядкування ряду.
• Забувають про прийом протилежної події в задачах зі словами «хоча б один».

Перевір себе