НМТ Математика

Аналіз даних (графіки й діаграми)

Завдання №1

Перше завдання кожного НМТ — аналіз даних: лінійний графік (зміна температури, густини пилу тощо) або кругова діаграма (розподіл на частки). Це «легкі» бали, які не варто втрачати через неуважність.

Математики тут майже немає — потрібне вміння уважно читати. Саме тому помилки в цьому завданні найприкріші: вони виникають не від незнання, а від поспіху. Найчастіше неправильно прочитано питання: замість найбільшого значення шукають найбільший приріст, замість проміжку зростання називають точку максимуму.

Лінійні графіки

По горизонталі — час (години), по вертикалі — величина. Типові запитання:

  • найбільше / найменше значення (найвища / найнижча точка);
  • розмах = найбільше − найменше;
  • проміжок, де величина лише зростала (лінія йде вгору) чи лише спадала.
Читай точки, а не «на око»

Дивись, у якій точці лінія перетинає горизонтальні лінії сітки — так визначиш точне значення. Для проміжків монотонності стеж за напрямом лінії між сусідніми точками.

Перед тим як шукати відповідь, витрать три секунди на осі: що відкладено по горизонталі, що по вертикалі і яка ціна однієї поділки. Ціна поділки рідко дорівнює одиниці — часто це 22, 55 чи 1010, і саме тут виникає найбільше помилок.

Розрізняй два різні питання. «Коли величина була найбільшою» — це про висоту точки. «Коли величина зростала найшвидше» — про крутизну лінії. Найшвидше зростання цілком може статися тоді, коли сама величина ще мала.

Приклад 1 — читання графіка

Нехай графік температури показує: о 66 год — 4°4°, о 99 год — 10°10°, о 1212 год — 16°16°, о 1515 год — 18°18°, о 1818 год — 12°12°.

  1. Найбільше значення: 18°18° (о 1515 год);
  2. найменше: 4°4° (о 66 год);
  3. розмах: 18−4=1418 - 4 = 14 градусів;
  4. проміжок зростання: з 66 до 1515 год — на всьому цьому проміжку кожне наступне значення більше за попереднє;
  5. найшвидше зростання: між 66 і 99 год та між 99 і 1212 год приріст по 6°6° за 33 год, а між 1212 і 1515 — лише 2°2°. Отже, найшвидше — до 1212 год, хоча найбільша температура була пізніше.

Останній пункт і є тією пасткою, про яку йшлося: максимум величини й максимум швидкості її зростання — різні моменти.

Кругові діаграми

Кругова діаграма ділить ціле (360°360°, або 100%100\%) на сектори. Якщо сектору відповідає кут α\alpha, то його частка від загального числа NN:

частина=α360∘⋅N(=відсоток100⋅N).\text{частина} = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot N \quad\left(= \dfrac{\text{відсоток}}{100}\cdot N\right).

Корисно пам'ятати кілька орієнтирів: чверть круга — це 90°90° або 25%25\%, третина — 120°120°, половина — 180°180° або 50%50\%. Вони дозволяють швидко перевірити відповідь на правдоподібність, навіть не рахуючи точно.

Приклад 2 — кругова діаграма

На діаграмі розподілу 720720 учнів за мовами сектор «англійська» має кут 150°150°. Скільки учнів вивчають англійську?

  1. Частка сектора: 150°360°=512\dfrac{150°}{360°} = \dfrac{5}{12};
  2. кількість учнів: 512⋅720=300\dfrac{5}{12} \cdot 720 = 300.

Відповідь: 300300 учнів. Перевірка на правдоподібність: 150°150° — трохи менше за половину круга, отже відповідь має бути трохи меншою за 360360 ✅.

Статистичні характеристики

За набором даних: розмах (різниця найбільшого й найменшого), мода (найчастіше значення), медіана (середнє впорядкованого ряду), середнє арифметичне.

Приклад — усі характеристики одного набору

Розгляньмо оцінки 3, 4, 4, 5, 93,\ 4,\ 4,\ 5,\ 9. Упорядковуємо (вони вже впорядковані) і рахуємо:

  1. розмах =9−3=6= 9 - 3 = 6;
  2. мода =4= 4 (трапляється двічі — найчастіше);
  3. медіана =4= 4 (середнє, третє з п'яти чисел);
  4. середнє =3+4+4+5+95=255=5= \dfrac{3+4+4+5+9}{5} = \dfrac{25}{5} = 5.

Зверни увагу: середнє (55) відрізняється від моди й медіани (44) — одне велике значення (99) «тягне» середнє вгору.

Найважливіше правило для медіани: ряд обов'язково впорядковують перед пошуком. Якщо чисел непарна кількість, медіана — середнє за номером число; якщо парна — півсума двох середніх. Для набору 2, 5, 7, 102,\ 5,\ 7,\ 10 медіана дорівнює 5+72=6\dfrac{5 + 7}{2} = 6, хоча самого числа 66 у наборі немає.

Мода може бути не одна

Якщо два різні значення трапляються однаково часто й частіше за решту, мод у наборі дві. А якщо всі значення різні, моди немає взагалі. Медіана й середнє існують завжди.

Типові помилки

  • Не дивляться на ціну поділки. Якщо одна клітинка дорівнює 55, значення «три клітинки» — це 1515, а не 33.
  • Шукають медіану без упорядкування ряду.
  • Плутають найбільше значення з найбільшим приростом.
  • Рахують частку сектора від 100°100° чи 180°180° замість 360°360°.
  • Плутають моду з медіаною. Мода — найчастіше значення, медіана — те, що стоїть посередині впорядкованого ряду.

Перевір себе

Розібрані приклади

Так виглядають задачі цієї теми в тренажері. Тут вони розібрані повністю — у самому тренажері числа в умові щоразу нові, а розв’язання відкривається після вашої відповіді.

  1. Приклад 1. Аналіз лінійного графіка

    015304560 60201540252055356003691215182124
    На графіку — густина пилу (мкг/м³) протягом доби. Укажіть найбільше значення густини.

    Відповідь: 6060

    Розв'язання: Найбільше значення на графіку=60 = 60

  2. Приклад 2. Аналіз кругової діаграми

    30°
    Кругова діаграма показує розподіл 96 96 учнів. Виділений сектор має кут 30∘. 30^\circ. Скільки учнів йому відповідає?

    Відповідь: 88

    Розв'язання: 30360⋅96=8\dfrac{30}{360}\cdot 96 = 8