Квадратні нерівності. Метод інтервалів

Квадратна нерівність — це перший випадок, коли відповіддю стає не одне число й навіть не один проміжок, а їх об'єднання. Ключ до теми не алгебраїчний, а графічний: щойно ти уявляєш параболу й бачиш, де вона вище або нижче осі, відповідь читається з малюнка за кілька секунд. Метод інтервалів узагальнює цей самий підхід на добутки будь-якої кількості множників.

Знак квадратного тричлена

Розв'язати квадратну нерівність $ax^2 + bx + c \gtrless 0$ означає знайти всі $x$, при яких тричлен додатний (або від'ємний). Ключ — графік параболи $y = ax^2+bx+c$:

• якщо $a > 0$, вітки напрямлені вгору;
• якщо $a < 0$, вітки напрямлені вниз;
• корені $x_1, x_2$ (нулі тричлена) — точки перетину з віссю $Ox$.

Між коренями і поза ними тричлен має різні знаки. Порухай корені й зміни знак нерівності:

Ці два випадки легко запам'ятати одним образом: парабола з вітками вгору «провисає» під віссю саме між коренями. Тому знак «менше» дає один проміжок (між коренями), а знак «більше» — два промені. Якщо у твоїй відповіді вийшло навпаки, перевір напрям віток.

Метод інтервалів

Для добутку кількох множників $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\dots$ зручний метод інтервалів:

1. Знаходимо корені й позначаємо їх на числовій прямій — вони ділять її на проміжки.
2. У найправішому проміжку добуток додатний (усі дужки додатні).
3. При переході через кожен простий корінь знак чергується.
4. Вибираємо проміжки з потрібним знаком.

Крок 2 має просте пояснення: якщо взяти дуже велике $x$, більше за всі корені, то кожна дужка $(x - x_i)$ додатна, отже й увесь добуток додатний. Далі рухаємося справа наліво: переходячи через корінь, рівно одна дужка змінює знак — тому змінюється й знак усього добутку.

Випадок $D < 0$

Якщо дискримінант від'ємний, коренів немає, і парабола не перетинає вісь $Ox$ — тричлен зберігає знак старшого коефіцієнта $a$ на всій прямій:

Тому, наприклад, нерівність $x^2 + x + 3 > 0$ виконується для будь-якого $x$, а $x^2 + x + 3 < 0$ не має розв'язків.

Цей випадок часто трапляється в завданнях, де питають, за яких значень параметра нерівність виконується при всіх $x$. Відповідь зазвичай зводиться саме до двох умов: $a > 0$ і $D < 0$.

Типові помилки

• Плутають, де тричлен додатний, а де від'ємний. Малюй параболу — це надійніше за спроби запам'ятати правило.
• Не враховують напрям віток. При $a < 0$ усі знаки дзеркальні.
• Чергують знак через кратний корінь. Парний степінь множника знак не змінює.
• Плутають круглі й квадратні дужки. Строга нерівність виключає самі корені, нестрога — включає.
• Вважають, що при $D < 0$ розв'язків немає. Розв'язків немає лише для одного зі знаків; для протилежного розв'язком є вся числова пряма.

Перевір себе