Дробове раціональне рівняння. Біквадратне рівняння

Обидва типи рівнянь у цій темі розв'язують за одним принципом: звести до вже відомого. Дробове рівняння множенням на знаменник перетворюють на лінійне чи квадратне, біквадратне заміною змінної — на квадратне. Але за це доведеться платити уважністю: перше перетворення може додати зайві корені, друге — навпаки, загубити потрібні. Саме на цьому й будують завдання НМТ.

Дробові раціональні рівняння

Дробове раціональне рівняння містить змінну у знаменнику. Алгоритм розв'язання:

знайти ОДЗ (знаменники $\neq 0$ );
звести до спільного знаменника й прирівняти чисельник до нуля;
розв'язати отримане рівняння;
відкинути корені, що не входять до ОДЗ (сторонні).

Нагадаємо, як знаходять заборонені значення:

Головна пастка

Дробове рівняння часто дає сторонній корінь — той, що перетворює знаменник на нуль. Його обов'язково перевіряють за ОДЗ і викидають.

Чому взагалі виникають сторонні корені? Множення обох частин на вираз зі змінною — операція не рівносильна: вона розширює множину розв'язків. Рівняння $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$ не має кореня $x = 3$ (при ньому дріб не існує), але після множення на $(x-3)$ перетворюється на $x^2 - 9 = 0$ , де цей корінь з'являється. Тому крок 1 — знайти ОДЗ — не формальність, а обов'язкова частина розв'язання.

Наприклад, у рівнянні $\dfrac{a}{x - b} = c$ множать обидві частини на $(x - b)$ й отримують лінійне рівняння; корінь приймають лише якщо $x \neq b$ .

Приклад 1 — сторонній корінь

Розв'яжемо $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$ .

ОДЗ: $x - 2 \ne 0$ , тобто $x \ne 2$ ;
дріб дорівнює нулю, коли чисельник нульовий: $x^2 - 4 = 0$ ;
звідси $x = 2$ або $x = -2$ ;
перевіряємо за ОДЗ: корінь $x = 2$ заборонений — відкидаємо його.

Відповідь: $x = -2$ . Якби ми просто скоротили дріб до $x + 2$ , то втратили б інформацію про заборонене значення й помилково прийняли обидва корені.

Рівняння, що зводяться до квадратного

Деякі дробові рівняння після множення на знаменник стають квадратними:

$x + \dfrac{k}{x} = m \ \big|\cdot x \ (x \neq 0) \Rightarrow x^2 - mx + k = 0.$

Приклад 2 — дробове рівняння, що дає квадратне

Розв'яжемо $x + \dfrac{6}{x} = 5$ .

ОДЗ: $x \ne 0$ ;
множимо обидві частини на $x$ : $x^2 + 6 = 5x$ ;
переносимо все вліво: $x^2 - 5x + 6 = 0$ ;
за теоремою Вієта корені $x_1 = 2$ , $x_2 = 3$ ;
обидва входять в ОДЗ ( $\ne 0$ ).

Відповідь: $x = 2$ або $x = 3$ . Перевірка для $x = 2$ : $2 + \dfrac{6}{2} = 2 + 3 = 5$ ✅.

Біквадратне рівняння

Біквадратне — це рівняння виду

$ax^4 + bx^2 + c = 0.$

Його розв'язують заміною $t = x^2$ (де $t \ge 0$ ): отримують квадратне рівняння відносно $t$ , а потім повертаються до $x$ . Обери приклад:

Не загуби корені

Кожному додатному кореню $t$ відповідають два значення $x$ : $+\sqrt{t}$ і $-\sqrt{t}$ . Від'ємний корінь $t$ не дає дійсних $x$ (бо $x^2 \ge 0$ ).

Головне тут — не забути повернутися до $x$ . Дуже поширена помилка: розв'язати квадратне рівняння відносно $t$ і записати ці значення у відповідь. Але $t$ — це допоміжна змінна, а питали про $x$ . Тому біквадратне рівняння має, як правило, чотири корені (симетричні парами відносно нуля), два або жодного — але не два «як у квадратного».

Приклад 3 — біквадратне рівняння

Розв'яжемо $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ .

Заміна $t = x^2$ , причому $t \ge 0$ : $t^2 - 13t + 36 = 0$ ;
за теоремою Вієта корені $t_1 = 4$ , $t_2 = 9$ (сума $13$ , добуток $36$ );
обидва додатні, тож повертаємося до $x$ $x$ :
- $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ ;
- $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ .

Відповідь: $x = -3;\ -2;\ 2;\ 3$ — усього чотири корені.

Коли коренів менше

Якщо один із коренів $t$ від'ємний, він не дає жодного $x$ . Наприклад, у рівнянні $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$ заміна дає $t_1 = 1$ і $t_2 = -4$ ; другий корінь відкидаємо, і лишається тільки $x = \pm 1$ — два корені замість чотирьох.

Типові помилки

Не перевіряють корені за ОДЗ. У дробовому рівнянні це обов'язковий останній крок.
Знаходять ОДЗ після скорочення дробу. Заборонене значення визначається вихідним знаменником; скорочення його не скасовує.
Записують у відповідь значення $t$ замість $x$ у біквадратному рівнянні.
Забувають знак «мінус» при поверненні до $x$ . З $x^2 = 9$ випливає $x = \pm 3$ , а не лише $x = 3$ .
Приймають від'ємний корінь $t$ . Оскільки $t = x^2$ , від'ємним він бути не може.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Кілька коренів вводь через крапку з комою: -2; 2 (порядок не важливий). Для питань із вибором натисни варіант.

Дробове раціональне рівняння. Біквадратне рівняння

Дробові раціональні рівняння

Рівняння, що зводяться до квадратного

Біквадратне рівняння

Типові помилки

Перевір себе

Завдання формату НМТ

Приклади розв’язання завдань НМТ