Дробове раціональне рівняння. Біквадратне рівняння

Обидва типи рівнянь у цій темі розв'язують за одним принципом: звести до вже відомого. Дробове рівняння множенням на знаменник перетворюють на лінійне чи квадратне, біквадратне заміною змінної — на квадратне. Але за це доведеться платити уважністю: перше перетворення може додати зайві корені, друге — навпаки, загубити потрібні. Саме на цьому й будують завдання НМТ.

Дробові раціональні рівняння

Дробове раціональне рівняння містить змінну у знаменнику. Алгоритм розв'язання:

знайти ОДЗ (знаменники $\neq 0$ );
звести до спільного знаменника й прирівняти чисельник до нуля;
розв'язати отримане рівняння;
відкинути корені, що не входять до ОДЗ (сторонні).

Нагадаємо, як знаходять заборонені значення:

Головна пастка

Дробове рівняння часто дає сторонній корінь — той, що перетворює знаменник на нуль. Його обов'язково перевіряють за ОДЗ і викидають.

Чому взагалі виникають сторонні корені? Множення обох частин на вираз зі змінною — операція не рівносильна: вона розширює множину розв'язків. Рівняння $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$ не має кореня $x = 3$ (при ньому дріб не існує), але після множення на $(x-3)$ перетворюється на $x^2 - 9 = 0$ , де цей корінь з'являється. Тому крок 1 — знайти ОДЗ — не формальність, а обов'язкова частина розв'язання.

Наприклад, у рівнянні $\dfrac{a}{x - b} = c$ множать обидві частини на $(x - b)$ й отримують лінійне рівняння; корінь приймають лише якщо $x \neq b$ .

Приклад 1 — сторонній корінь

Розв'яжемо $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$ .

ОДЗ: $x - 2 \ne 0$ , тобто $x \ne 2$ ;
дріб дорівнює нулю, коли чисельник нульовий: $x^2 - 4 = 0$ ;
звідси $x = 2$ або $x = -2$ ;
перевіряємо за ОДЗ: корінь $x = 2$ заборонений — відкидаємо його.

Відповідь: $x = -2$ . Якби ми просто скоротили дріб до $x + 2$ , то втратили б інформацію про заборонене значення й помилково прийняли обидва корені.

Рівняння, що зводяться до квадратного

Деякі дробові рівняння після множення на знаменник стають квадратними:

$x + \dfrac{k}{x} = m \ \big|\cdot x \ (x \neq 0) \Rightarrow x^2 - mx + k = 0.$

Приклад 2 — дробове рівняння, що дає квадратне

Розв'яжемо $x + \dfrac{6}{x} = 5$ .

ОДЗ: $x \ne 0$ ;
множимо обидві частини на $x$ : $x^2 + 6 = 5x$ ;
переносимо все вліво: $x^2 - 5x + 6 = 0$ ;
за теоремою Вієта корені $x_1 = 2$ , $x_2 = 3$ ;
обидва входять в ОДЗ ( $\ne 0$ ).

Відповідь: $x = 2$ або $x = 3$ . Перевірка для $x = 2$ : $2 + \dfrac{6}{2} = 2 + 3 = 5$ ✅.

Біквадратне рівняння

Біквадратне — це рівняння виду

$ax^4 + bx^2 + c = 0.$

Його розв'язують заміною $t = x^2$ (де $t \ge 0$ ): отримують квадратне рівняння відносно $t$ , а потім повертаються до $x$ . Обери приклад:

Не загуби корені

Кожному додатному кореню $t$ відповідають два значення $x$ : $+\sqrt{t}$ і $-\sqrt{t}$ . Від'ємний корінь $t$ не дає дійсних $x$ (бо $x^2 \ge 0$ ).

Головне тут — не забути повернутися до $x$ . Дуже поширена помилка: розв'язати квадратне рівняння відносно $t$ і записати ці значення у відповідь. Але $t$ — це допоміжна змінна, а питали про $x$ . Тому біквадратне рівняння має, як правило, чотири корені (симетричні парами відносно нуля), два або жодного — але не два «як у квадратного».

Приклад 3 — біквадратне рівняння

Розв'яжемо $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ .

Заміна $t = x^2$ , причому $t \ge 0$ : $t^2 - 13t + 36 = 0$ ;
за теоремою Вієта корені $t_1 = 4$ , $t_2 = 9$ (сума $13$ , добуток $36$ );
обидва додатні, тож повертаємося до $x$ $x$ :
- $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ ;
- $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ .

Відповідь: $x = -3;\ -2;\ 2;\ 3$ — усього чотири корені.

Коли коренів менше

Якщо один із коренів $t$ від'ємний, він не дає жодного $x$ . Наприклад, у рівнянні $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$ заміна дає $t_1 = 1$ і $t_2 = -4$ ; другий корінь відкидаємо, і лишається тільки $x = \pm 1$ — два корені замість чотирьох.

Типові помилки

Не перевіряють корені за ОДЗ. У дробовому рівнянні це обов'язковий останній крок.
Знаходять ОДЗ після скорочення дробу. Заборонене значення визначається вихідним знаменником; скорочення його не скасовує.
Записують у відповідь значення $t$ замість $x$ у біквадратному рівнянні.
Забувають знак «мінус» при поверненні до $x$ . З $x^2 = 9$ випливає $x = \pm 3$ , а не лише $x = 3$ .
Приймають від'ємний корінь $t$ . Оскільки $t = x^2$ , від'ємним він бути не може.

Перевір себе

Порада щодо вводу

Кілька коренів вводь через крапку з комою: -2; 2 (порядок не важливий). Для питань із вибором натисни варіант.