Площі плоских фігур

Формул площі в шкільному курсі багато, і саме через це тема здається складною. Насправді за майже всіма стоїть одна ідея — основа, помножена на висоту, — а решта формул є її варіаціями або наслідками. Тому головна навичка тут не пам'ять, а вибір: побачивши, що саме дано в умові, швидко визначити, яка з формул до цих даних підходить.

Трикутник

Площу трикутника обчислюють кількома способами — залежно від того, що відомо:

$S = \dfrac{1}{2}a h_a = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

де $h_a$ — висота до сторони $a$, $C$ — кут між сторонами $a$ і $b$, а $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ — півпериметр (формула Герона).

Вибір формули підказує сама умова:

Друга формула — це насправді перша: висота $h_a$ дорівнює $b\sin C$, бо вона є катетом прямокутного трикутника з гіпотенузою $b$ і кутом $C$. Тому окремо запам'ятовувати її не обов'язково — досить пам'ятати, звідки береться висота.

Для рівностороннього трикутника зі стороною $a$ формулу варто знати напам'ять — вона трапляється надто часто, щоб щоразу виводити:

$S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

Чотирикутники

$S_{\text{паралелограма}} = a h = ab\sin\alpha, \qquad S_{\text{ромба}} = \dfrac{1}{2}d_1 d_2, \qquad S_{\text{трапеції}} = \dfrac{a+b}{2}\,h.$

Прямокутник і квадрат — окремі випадки: $S = ab$ і $S = a^2$.

Круг, сектор і дуга

$S_{\text{круга}} = \pi R^2, \qquad S_{\text{сектора}} = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\,\pi R^2, \qquad l_{\text{дуги}} = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi R.$

Сектор — частина круга між двома радіусами; його площа становить таку саму частку площі круга, яку кут $\alpha$ становить від повного кута $360°$.

Обидві формули для сектора побудовані на одному множнику — частці $\dfrac{\alpha}{360°}$. Тому окремо їх учити не треба: візьми повну величину (площу круга або довжину кола) і помнож на цю частку. Наприклад, чверть круга — це $\dfrac{90°}{360°} = \dfrac{1}{4}$ його площі.

Правильний многокутник

Площу правильного $n$-кутника зі стороною $a$ й апофемою (радіусом уписаного кола) $r$ знаходять як половину добутку периметра на апофему:

$S = \dfrac{1}{2}P r = \dfrac{1}{2}\,(na)\,r.$

Формула має просте пояснення: правильний $n$-кутник розрізають із центра на $n$ рівних трикутників з основою $a$ й висотою $r$. Площа кожного — $\dfrac{1}{2}ar$, а всіх разом — $\dfrac{1}{2}nar$, тобто $\dfrac{1}{2}Pr$. Та сама ідея, до речі, працює й для площі трикутника через радіус уписаного кола: $S = pr$.

Типові помилки

• Беруть бічну сторону замість висоти. Висота завжди перпендикулярна до основи. Якщо дано кут, висоту дістають множенням сторони на синус цього кута.
• Забувають множник $\dfrac{1}{2}$ у площі трикутника. Швидка перевірка: площа трикутника має бути вдвічі меншою за площу прямокутника з тими самими основою й висотою.
• Плутають радіус із діаметром у формулі круга. У $S = \pi R^2$ стоїть саме радіус; якщо в умові дано діаметр, його спершу треба поділити навпіл.
• Рахують частку сектора від $180°$ замість $360°$. Повний кут круга — $360°$.
• Змішують одиниці. Якщо одна сторона в сантиметрах, а інша в метрах, перед множенням їх треба звести до однакових одиниць.

Перевір себе